dijkstra(堆优化版)
重点:使用小根堆优化,适用于稀疏图。
- 时间复杂度:O(ElogE) E 为边的数量
- 空间复杂度:O(N + E) N 为节点的数量
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std;
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};
// 定义一个结构体来表示带权重的边
struct Edge {
int to; // 邻接顶点
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1);
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2,权值为 val
grid[p1].push_back(Edge(p2, val));
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
// 存储从源点到每个节点的最短距离
std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);
// 记录顶点是否被访问过
std::vector<bool> visited(n + 1, false);
// 优先队列中存放 pair<节点,源点到该节点的权值>
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;
// 初始化队列,源点到源点的距离为0,所以初始为0
pq.push(pair<int, int>(start, 0));
minDist[start] = 0; // 起始点到自身的距离为0
while (!pq.empty()) {
// 1. 第一步,选源点到哪个节点近且该节点未被访问过 (通过优先级队列来实现)
// <节点, 源点到该节点的距离>
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();
if (visited[cur.first]) continue;
// 2. 第二步,该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;
// 3. 第三步,更新非访问节点到源点的距离(即更新minDist数组)
for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点,cur指向的节点为 edge
// cur指向的节点edge.to,这条边的权值为 edge.val
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}
Bellman_ford
重点:用于单源最短路径带负权值的算法
- 时间复杂度: O(N * E) , N为节点数量,E为图中边的数量
- 空间复杂度: O(N) ,即 minDist 数组所开辟的空间
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int n,m,p1,p2,val;
cin>>n>>m;
vector<vector<int>>grid;
for(int i=0;i<m;i++){
cin>>p1>>p2>>val;
grid.push_back({p1,p2,val});
}
int start=1;
int end=n;
vector<int>minDist(n+1,INT_MAX);
minDist[start]=0;
for(int i=1;i<n;i++){
for(vector<int>&side:grid){
int from=side[0];
int to=side[1];
int price=side[2];
if(minDist[from]!=INT_MAX&&minDist[to]>minDist[from]+price){
minDist[to]=minDist[from]+price;
}
}
}
if(minDist[end]==INT_MAX){
cout<<"unconnected"<<endl;
}else{
cout<<minDist[end]<<endl;
}
}
总结
模板题,理解题意背模板就行,稠密图使用邻接矩阵建图用dijistra朴素版,稀疏图使用邻接表用dijistra(堆优化版)。Bellman_ford算法理清楚松弛操作