十大机器学习算法-学习笔记-章节1-线性回归—

一、前言

学习视频：第一章：线性回归原理推导 1-回归问题概述_哔哩哔哩_bilibili

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二、正文

1、线性回归

什么是线性回归？

线性回归是一种用于建立变量之间关系的统计方法。具体来说，它通过拟合一条直线（在多变量情况下则是超平面）来预测因变量（响应变量）与一个或多个自变量（预测变量）之间的关系。线性回归的主要目标是找到最适合数据的直线，使得预测值与实际值之间的误差最小化。

线性回归的主要组成部分包括：

1. 回归方程： 线性回归模型通常可以表示为：

   y=β0+β1x1+β2x2+⋯+βnxn+ϵy=β0​+β1​x1​+β2​x2​+⋯+βn​xn​+ϵ

   其中，yy 是因变量，x1,x2,...,xnx1​,x2​,...,xn​ 是自变量，β0β0​ 是截距，β1,β2,...,βnβ1​,β2​,...,βn​ 是回归系数，ϵϵ 是误差项。

2. 最小二乘法： 线性回归通常通过最小二乘法来估计回归系数。最小二乘法的目标是最小化预测值和实际值之间的平方差之和。

3. 拟合优度： 线性回归模型的拟合优度可以通过 R2R2（决定系数）来衡量，它表示模型解释了因变量总变异的百分比。

4. 假设检验： 回归系数的显著性通常通过t检验来检验，以确定每个自变量是否对因变量有显著影响。

5. 模型假设： 线性回归模型通常有一些假设，包括线性关系、误差项的正态分布、同方差性（即误差项的方差恒定）以及自变量之间没有多重共线性等。

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2、误差项定义

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什么是误差项定义？

在回归分析中，误差项 （Error Term），也称为残差（Residual），是指实际观测值与模型预测值之间的差异。具体来说，误差项可以定义为：

ϵi=yi−y^iϵi​=yi​−y^​i​

其中：

• \epsilon_i \) 是第 \( i \) 个观测值的误差项。
• \hat{y}_i \) 是模型对第 \( i \) 个观测值的预测值。

1. 随机性： 误差项是由随机因素影响的，它反映了模型无法解释的部分。

2. 期望值为零： 在理想情况下，误差项的期望值为零，即 E(ϵi)=0E(ϵi​)=0。这表示模型的预测值在长期平均上是准确的。

3. 同方差性： 误差项的方差在所有观测值中应保持恒定。这一假设称为同方差性。如果误差项的方差随自变量的变化而变化，则称为异方差性。

4. 独立性： 误差项通常假设是相互独立的。这意味着一个观测值的误差不应该与另一个观测值的误差相关。

5. 正态分布： 在线性回归中，通常假设误差项服从正态分布。这有助于进行假设检验和置信区间估计。

误差项的这些特性对回归模型的有效性和可靠性有重要影响。违反这些假设可能会导致模型的预测不准确或统计推断失效。

1、上下平移

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4、设x0只是为了我做一个转换，转换成矩阵的一种形式

5、计算做补位

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7、真实值和值是存在误差的

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三、总结

个人学习笔记，定然还是存在许多问题的，各位博友，可以在文末评论处，留下你的宝贵意见。