文章目录
- 前言
- 一、矩阵的列空间
- 二、线性方程组的解
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- [2.1 矩阵列空间维数等于列向量维数](#2.1 矩阵列空间维数等于列向量维数)
- [2.1 矩阵列空间维数小于列向量维数](#2.1 矩阵列空间维数小于列向量维数)
- 总结
前言
基于上篇所学习的极大线性无关组与张成空间维数的有关知识，我们回到矩阵中，重新省视一下线性方程组的求解与向量空间的关系。此外，在本系列笔记1.6中我们从矩阵可逆性分析了线性方程组的解的性质，这次，我们从向量空间的角度再次分析其解的性质。
一、矩阵的列空间
所谓矩阵的列空间，即由矩阵 A \bm{A} A的所有列向量张成的向量空间。因此，我们也可以得到一个性质，即矩阵列空间中的任意一个向量，均可表示为该矩阵列向量的线性组合。
根据上篇极大线性无关组与张成空间维数的性质，我们可知矩阵列空间的维数，等于其列向量的极大线性无关组的向量个数。例如对于如下矩阵：
A = ( a 1 a 2 a 3 ) = ( 1 0 1 0 1 1 0 0 0 ) \mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} \bm{a}_1& \bm{a}_2&\bm{a}_3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &1\\ 0&1&1\\ 0&0&0\\ \end{array} \right) A=(a1a2a3)= 100010110
其列向量的一个极大线性无关组可为 { [ 1 , 0 , 0 ] , [ 0 , 1 , 0 ] } \{[1,0,0],[0,1,0]\} {[1,0,0],[0,1,0]}，所以该矩阵的列空间维数为2，这个列空间是 R 3 R^3 R3的一个子空间。
二、线性方程组的解
2.1 矩阵列空间维数等于列向量维数
现在，我们来考虑线性方程组 A x = b \bm{A}\bm{x}=\bm{b} Ax=b的解。根据我们之前学过的知识，我们知道求解线性方程组，也可以看成是找到一组矩阵列向量的线性表示系数，来表示向量 b \bm{b} b。因此，该方程要有解，则必须存在这样的线性表示系数，即 b \bm{b} b与矩阵 A \bm{A} A的列向量线性相关，换句话说， b \bm{b} b应该属于矩阵 A \bm{A} A的列空间。
我们将矩阵 A \bm{A} A稍作修改：
A = ( 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ) \mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \end{array} \right) A= 100010111
此时，矩阵 A \bm{A} A的列向量均线性无关，列空间维数等于列向量维数3。因此，矩阵的列向量构成了 R 3 R^3 R3的一组基，此时其列空间即为 R 3 R^3 R3。对于任意向量 b ∈ R 3 \bm{b}\in R^3 b∈R3，我们均可找到唯一的线性表示系数对矩阵 A \bm{A} A的列向量进行线性组合，得到 b \bm{b} b。所以，在这种情况下线性方程组一定有解。
那么解有多少呢？答案是只有唯一解。因为我们有：
对于一组线性无关向量张成的空间中的任意一个向量，其通过该组线性无关向量进行线性表示的系数唯一。
我们简单的证明一下：
假设存在向量 b ∈ V \bm{b}\in V b∈V以及两组不同的线性表示系数 c 1 , c 2 , ... , c n c_1,c_2,\ldots,c_n c1,c2,...,cn, d 1 , d 2 , ... , d n d_1,d_2,\ldots,d_n d1,d2,...,dn,使得 b = c 1 a 1 + c 2 a 2 ... + c n a n = d 1 a 1 + d 2 a 2 + ... + d n a n \bm{b}=c_1\bm{a}_1+c_2\bm{a}_2\ldots+c_n\bm{a}_n=d_1\bm{a}_1+d_2\bm{a}_2+\ldots+d_n\bm{a}_n b=c1a1+c2a2...+cnan=d1a1+d2a2+...+dnan。其中, a 1 , a 2 , ... , a n \bm{a}_1,\bm{a}_2,\ldots,\bm{a}_n a1,a2,...,an为一组线性无关的向量， V \bm{V} V为其张成空间。
则有：
( c 1 − d 1 ) a 1 + ( c 2 − d 2 ) a 2 ... + ( c n − d n ) a n = 0 (c_1-d_1)\bm{a}_1+(c_2-d_2)\bm{a}_2\ldots+(c_n-d_n)\bm{a}_n=0 (c1−d1)a1+(c2−d2)a2...+(cn−dn)an=0
由线性无关定义，可知 c i = d i c_i=d_i ci=di，因此原假设不成立。
因此，对于列空间与列向量维数相同的矩阵，其对应的任意线性方程组均有唯一解。
2.1 矩阵列空间维数小于列向量维数
对于上述我们所提到的示例而言，矩阵 A \bm{A} A的列空间维数小于3，是 R 3 R^3 R3的子空间，那么就存在 b \bm{b} b不属于该矩阵的列空间，使得该线性方程组无解。（如向量 [ 0 , 0 , 1 ] [0,0,1] [0,0,1]）
如果 b \bm{b} b属于矩阵 A \bm{A} A的列空间，这个方程会有多少解呢？如果 b \bm{b} b属于矩阵 A \bm{A} A的列空间（如 [ 1 , 2 , 0 ] [1,2,0] [1,2,0]），那么可以通过极大线性关组先对其唯一进行线性表示: a 1 + 2 a 2 \bm{a}_1+2\bm{a}_2 a1+2a2，因此我们已经可以找到一个解。
不过，由于我们还有一个与极大线性无关组线性相关的 a 3 = a 1 + a 2 \bm{a}_3=\bm{a}_1+\bm{a}_2 a3=a1+a2。因此，我们可以给上述解进行如下扩充：
b = a 1 + 2 a 2 + 0 \bm{b}=\bm{a}_1+2\bm{a}_2+\bm{0} b=a1+2a2+0
= a 1 + 2 a 2 + k ( a 3 − a 1 − a 2 ) =\bm{a}_1+2\bm{a}_2+k(\bm{a}_3-\bm{a}_1-\bm{a}_2) =a1+2a2+k(a3−a1−a2)
= ( 1 − k ) a 1 + ( 2 − k ) a 2 + k a 3 =(1-k)\bm{a}_1+(2-k)\bm{a}_2+k\bm{a}_3 =(1−k)a1+(2−k)a2+ka3
k取任意值，上述等式均成立，因此 x = [ 1 − k , 2 − k , k ] \bm{x}=[1-k,2-k,k] x=[1−k,2−k,k]均为该线性方程组的解。所以，对于列空间维数小于列向量维数的矩阵，其对应的线性方程组要么无解，要么有无穷多解。
上篇笔记中，我们解释了向量空间的维数不会大于张成该空间的向量维数，因此我们这里也就没有矩阵列空间维数大于列向量维数的情况。
总结
本文给出了矩阵列空间的概念，并根据矩阵列空间的性质，从向量空间的角度分析了线性方程组的解------与列空间的维数以及列向量的维数关系密切相关。其实这个列空间的维数被称为矩阵的秩，也叫矩阵的列秩。后续将会对这个概念进行展开讲解。