c++ 图论 ：dijkstra（堆优化版） 、Bellman_ford 算法

在图论中，Dijkstra 和 Bellman-Ford 算法是两种常用的单源最短路径算法。Dijkstra 算法适用于无负权边的图，而 Bellman-Ford 算法则可以处理负权边并检测负权回路。

一、Dijkstra 算法（堆优化版）

Dijkstra 算法使用优先队列（通常使用最小堆）来优化查找当前最小距离的顶点。堆优化版 Dijkstra 算法的时间复杂度为 O((V + E) log V)。

1. 算法思想

1. 从源点开始，初始化源点到各顶点的距离，源点到自身的距离为 0，其他顶点距离为无穷大。
2. 使用优先队列（最小堆）维护当前已知的最短路径顶点。
3. 每次从堆中取出距离最小的顶点，更新其邻接顶点的距离。
4. 重复上述步骤直到堆为空。

2. 代码实现

以下是堆优化版 Dijkstra 算法的 C++ 实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <functional>
#include <climits>

using namespace std;

const int INF = INT_MAX;

struct Edge {
    int to;
    int weight;
};

void dijkstra(int start, vector<vector<Edge>>& graph, vector<int>& dist) {
    int n = graph.size();
    dist.assign(n, INF);
    dist[start] = 0;

    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;
    pq.push({0, start});

    while (!pq.empty()) {
        int d = pq.top().first;
        int u = pq.top().second;
        pq.pop();

        if (d > dist[u]) continue;

        for (auto& edge : graph[u]) {
            int v = edge.to;
            int weight = edge.weight;
            if (dist[u] + weight < dist[v]) {
                dist[v] = dist[u] + weight;
                pq.push({dist[v], v});
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n, m;
    cout << "Enter number of vertices and edges: ";
    cin >> n >> m;
    vector<vector<Edge>> graph(n);

    cout << "Enter edges (u, v, w):" << endl;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        graph[u].push_back({v, w});
        graph[v].push_back({u, w}); // 如果是有向图，去掉这一行
    }

    int start;
    cout << "Enter start vertex: ";
    cin >> start;

    vector<int> dist;
    dijkstra(start, graph, dist);

    cout << "Shortest distances from vertex " << start << ":" << endl;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cout << "Vertex " << i << ": " << dist[i] << endl;
    }

    return 0;
}

二、Bellman-Ford 算法

Bellman-Ford 算法可以处理包含负权边的图，并且可以检测负权回路。其时间复杂度为 O(VE)。

1. 算法思想

1. 初始化源点到各顶点的距离，源点到自身的距离为 0，其他顶点距离为无穷大。
2. 对所有边进行 V-1 次松弛操作，即对每一条边 (u, v)，如果 dist[u] + weight < dist[v]，则更新 dist[v]。
3. 进行第 V 次松弛操作，如果还能更新任何顶点的距离，则存在负权回路。

2. 代码实现

以下是 Bellman-Ford 算法的 C++ 实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>

using namespace std;

const int INF = INT_MAX;

struct Edge {
    int from;
    int to;
    int weight;
};

bool bellman_ford(int start, vector<Edge>& edges, int n, vector<int>& dist) {
    dist.assign(n, INF);
    dist[start] = 0;

    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        for (auto& edge : edges) {
            if (dist[edge.from] != INF && dist[edge.from] + edge.weight < dist[edge.to]) {
                dist[edge.to] = dist[edge.from] + edge.weight;
            }
        }
    }

    for (auto& edge : edges) {
        if (dist[edge.from] != INF && dist[edge.from] + edge.weight < dist[edge.to]) {
            return false; // 存在负权回路
        }
    }

    return true;
}

int main() {
    int n, m;
    cout << "Enter number of vertices and edges: ";
    cin >> n >> m;
    vector<Edge> edges(m);

    cout << "Enter edges (u, v, w):" << endl;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        cin >> edges[i].from >> edges[i].to >> edges[i].weight;
    }

    int start;
    cout << "Enter start vertex: ";
    cin >> start;

    vector<int> dist;
    if (bellman_ford(start, edges, n, dist)) {
        cout << "Shortest distances from vertex " << start << ":" << endl;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            cout << "Vertex " << i << ": " << dist[i] << endl;
        }
    } else {
        cout << "Graph contains a negative-weight cycle." << endl;
    }

    return 0;
}

总结

1. Dijkstra 算法（堆优化版）适用于无负权边的图，使用最小堆优化查找当前最小距离顶点。
2. Bellman-Ford 算法适用于包含负权边的图，可以检测负权回路，但时间复杂度较高。

这两种算法各有优缺点，选择时需根据具体应用场景和图的特性进行权衡。