文章目录
- 前言
- 一、齐次线性方程组的解集
- 二、非齐次线性方程组的解集。
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- [2.1 矩阵的列秩等于列数时](#2.1 矩阵的列秩等于列数时)
- [2.1 矩阵的列秩小于列数时](#2.1 矩阵的列秩小于列数时)
- 总结
前言
上文讲到矩阵的零空间，即线性方程组 A x = 0 \bm{Ax}=\bm{0} Ax=0的解集。那么容易联想到的一个问题是， A x = b \bm{Ax}=\bm{b} Ax=b的解集有什么性质？也会构成类似的向量空间吗？与矩阵的零空间有什么联系呢？
一、齐次线性方程组的解集
A x = 0 \bm{Ax}=\bm{0} Ax=0被称为齐次线性方程组，即常数项为0的线性方程组。它的解集根据上篇笔记2.4中的结论，就是矩阵 A \bm{A} A的零空间。我们也找到了构成出该零空间的一组基的方法，即先找到矩阵列向量的一个极大线性无关组，再依次令"多余"列向量的系数分别为1，求解出若干解向量，这些解向量即构成零空间的基。由这组基进行任意的线性组合得到的向量都是方程组 A x = 0 \bm{Ax}=\bm{0} Ax=0的解。
二、非齐次线性方程组的解集。
A x = b \bm{Ax}=\bm{b} Ax=b被称为非齐次线性方程组，其中 b ≠ 0 \bm{b}\neq \bm{0} b=0。它的解集会构成向量空间吗？显然不会，因为零向量不是该方程组的解。下面我们来分析一下这个解集的性质，并分析其与矩阵零空间的关系。
2.1 矩阵的列秩等于列数时
列秩等于列数，说明矩阵的列向量之间皆线性无关（此时，称矩阵为满秩矩阵）。因此，根据笔记2.3中的结论（用一组线性无关的向量表示一个与之线性相关的向量时，只存在唯一的一组线性表示系数。），若向量 b \bm{b} b属于矩阵列空间，则基于矩阵 A \bm{A} A的列向量，只存在唯一的一组线性表示系数使得方程组成立。即只存在唯一解。若向量 b \bm{b} b不属于矩阵列空间则无解。
2.1 矩阵的列秩小于列数时
此时，则说明存在"多余向量"。不妨设矩阵 A \bm{A} A的列数为 m m m，列秩为 n n n， n < m n<m n<m。由笔记2.4中的结论，矩阵 A \bm{A} A的零空间维度为 m − n m-n m−n。同样，若向量 b \bm{b} b不属于矩阵列空间，方程组仍然无解。若向量 b \bm{b} b属于矩阵列空间，则我们可以通过 n n n个线性无关向量对 b \bm{b} b做唯一的线性表示：
b = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ... + x n a n \bm{b}=x_1\bm{a}_1+x_2\bm{a}_2+\ldots+x_n\bm{a}_n b=x1a1+x2a2+...+xnan
因此，若我们令 x n + 1 x_{n+1} xn+1到 x m x_{m} xm均为0，构造向量 x ′ = x 1 , x 2 , ... , x n , 0 , ... , 0 \bm{x}'=x_1,x_2,\\ldots,x_n,0,\\ldots,0 x′=x1,x2,...,xn,0,...,0，则该向量必然是方程组的一个解：
A x ′ = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ... + x n a n + 0 + ... + 0 = b \bm{Ax}'=x_1\bm{a}_1+x_2\bm{a}_2+\ldots+x_n\bm{a}_n+\bm{0}+\ldots+\bm{0}=\bm{b} Ax′=x1a1+x2a2+...+xnan+0+...+0=b
我们可以称 x ′ \bm{x}' x′为非齐次线性方程组的一个特解。结合齐次方程组的解 x ∗ \bm{x}^* x∗，我们容易得到下列式子成立：
A x ′ + A x ∗ = A ( x ′ + x ∗ ) = b + 0 = b \bm{Ax}'+\bm{Ax}^*=\bm{A}(\bm{x}'+\bm{x}^*)=\bm{b}+\bm{0}=\bm{b} Ax′+Ax∗=A(x′+x∗)=b+0=b
可见， x ′ + x ∗ \bm{x}'+\bm{x}^* x′+x∗也是非齐次方程组的解（称之为通解）。也就是说，找到非齐次方程组的一个特解，对其加上任意属于矩阵 A \bm{A} A的零空间的向量，结果仍为非齐次方程组的解。
紧接着的一个问题就是，上述我们寻找特解的方式是用线性无关组得到的，如果我们不限制这个条件，也能找到不一样的特解。甚至我们基于不同的极大线性无关组（极大线性无关组的向量数量是确定的，但是组成可以不同。），也能找到不同的特解。那么，是不是我们任意找到一个特解，加上零空间的向量构造出来的通解，都是等价的呢？换句话说：**所构造出来的通解一定包含所有的解吗？**下面我们来证明这件事情：
不妨令我们任意找到的一个特解为 x ′ \bm{x}' x′，以及矩阵的零空间 N ( A ) N(\bm{A}) N(A)=Span ( x n + 1 , x n + 2 , ... , x m ) (\bm{x}{n+1},\bm{x}{n+2},\ldots,\bm{x}_m) (xn+1,xn+2,...,xm)，这里Span表示张成的空间。假设 ∃ x 0 \exist \bm{x}_0 ∃x0，满足 A x 0 = b \bm{Ax}_0=\bm{b} Ax0=b，且 x 0 ≠ x ′ + x ∗ \bm{x}_0\neq\bm{x}'+\bm{x}^* x0=x′+x∗，对 ∀ x ∗ ∈ N ( A ) \forall\bm{x}^*\in N(\bm{A}) ∀x∗∈N(A)成立。
⟺ x 0 − x ′ ≠ x ∗ \iff \bm{x}_0-\bm{x}'\neq\bm{x}^* ⟺x0−x′=x∗
⟺ A x 0 − A x ′ = b − b ≠ 0 \iff \bm{Ax}_0-\bm{Ax}'=\bm{b}-\bm{b}\neq\bm{0} ⟺Ax0−Ax′=b−b=0矛盾！因此原命题不成立。
于是我们得出结论：所有的非齐次方程组的解，均可表示为任意特解与零空间向量组合的形式，即 x ′ + x ∗ \bm{x}'+\bm{x}^* x′+x∗。
总结
本文推导出了非齐次性方程组的解集的通解形式，并证明了该形式包含了任意解。从此，我们求解非齐次方程组便有了一般方法：1）先构造一组零空间的基向量；2）找到非齐次方程组的任意一个特解；3）将该特解加上零空间基向量的任意线性组合。