[C++进阶&数据结构]二叉搜索树

多态讲完了,我们来讲点轻松的(也许)。

我们之前讲过二叉树，而二叉树中，又有一种特殊的树称之为二叉搜索树。

一、二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值

若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值

它的左右子树也分别为二叉搜索树

例如下图，左边的是一颗二叉搜索树，右边不是：

为什么这样的树称作二叉搜索树呢？因为这树天生就十分适合搜索。我们可以这么想使用左边的树，如果我们想找到22的话，首先22比25小，所以一定在左子树，而22大于20，所以一定在右子树。然后我们就可以找到了。我们可以发现，这种树的效率天生就很高，这棵树最多找高度次。也就是说最多找N次（注意不是logN次，因为我们可能碰到下图中右边的树），下图中的两棵树都是二叉搜素树。也就是说时间复杂度为O(N)

普通的二叉搜索树的时间复杂度为O(N)，但是我们可以对其进行一些特殊变换，使之成为AVL树，红黑树之类的（之后我们再讲）。这样时间复杂度就可以降为了O(logN)了。

这个树还有另一个名字是二叉排序树，这是因为当我们对这棵树进行中序遍历的时候，结果是升序的。

二、二叉搜索树的实现

1.二叉树的结点定义

对于二叉树的结点，我们类似于list的结点定义一样，使用一个struct类。

cpp 复制代码

template<class K>
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode(const K& val = K())
		:_key(val)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
	{}
	K _key;
	BSTreeNode<K>* _left;
	BSTreeNode<K>* _right;
};

2.二叉搜索树的结构

为了方便我们后续的结点定义，我们将结点给typedef一下。然后我们的成员变量其实也就这一个根节点。只要有根节点就可以构建出二叉搜索树了。

cpp 复制代码

private:
	typedef BSTreeNode<K> Node;
	Node* _root;

3.二叉搜索树的构造函数

cpp 复制代码

public:
	BSTree()
		:_root(nullptr)
	{}

如上代码所示，对于构造函数其实是比较简答的，我们只需要将二叉树的根结点初始化为空即可

4.二叉搜索树的插入

对于插入接口，我们需要考虑的情况有如下两种：

二叉树为空的时候，直接new一个结点插入上去即可

如果二叉树不为空，那么我们就需要进行比较

例如上面的例子，我们此时插入一个16

16小于25,向左走。

16小于20，向左走。

16大于10，向右走，并插入空

注意：如果恰好等于当前结点的值，那么我们可以认为插入失败了，因为此时已经不满足二叉搜索树的定义了。

代码实现：

我们现在想的方法是对二叉树进行迭代，迭代到空new一个新节点插入，但是如果我们只是对二叉树进行迭代最终我们会发现如此迭代下去，最终的当前结点一定会为空指针，这并非我们所期望的。我们肯定是还需要它的父节点的，这样才能让我目标值插入进去。所以我们还需要一个值来记录当前所迭代位置的父节点。即我们下面写的parent。

有了parent以后，我们现在就是new一个新的结点，然后直接parent链接起来。不过此时又分为两种情形，是左孩子还是右孩子，其实并不好确定。于是我们可以使用parent当前的值与目标值进行比对从而判断出是插入左孩子还是右孩子。

cpp 复制代码

public:
	bool Insert(const K& key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}
		else
		{
			Node* parent = _root;
			Node* cur = _root;
			while (cur != nullptr)
			{
				if (cur->_key == key)
				{
					return false;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
			}
			cur = new Node(key);
			if (parent->_key > key)
			{
				parent->_left = cur;
			}
			else if (parent->_key < key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			return true;
		}
	}

5.二叉搜索树的中序遍历

插入了以后，我们可以使用中序遍历对其进行输出，由于中序遍历就是排序后的情形，所以我们可以很方便的看到我们当前二叉树的结果。

对于排序，我们最好写一个子函数来实现，因为没有子函数的话，参数不好进行控制，会使得代码十分繁琐。

如下代码所示，对于中序遍历我们其实还是比较容易看懂的。无非就是先左子树，然后根，然后右子树即可。我们最好将子函数放在私有的部分中，因为在类外我们并不需要直接使用这个函数

cpp 复制代码

public:
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

6.二叉搜索树的查找

对于查找的逻辑，是非常简单的，它与插入也是比较相似的，当我们当前结点的值小于目标的时候，迭代到右子树，当大于目标的时候，迭代到左子树。当相等的时候返回true即可。但若当cur都为nullptr了的时候还没有找到，那就是没有找到，返回false即可

cpp 复制代码

public:
	bool Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key == key)
			{
				return true;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
		}
		return false;
	}

7.二叉搜索树的删除

对于二叉搜索树的删除操作，其实是比较困难的。

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在就返回false

如果存在，那么此时要删除的节点可能分为以下四种情况：

要删除的节点无子节点

要删除的节点只有左子节点

要删除的节点只有右子节点

要删除的节点有左、右子节点

第一种情况是最好处理的，释放节点，直接把父节点指向改为空。

第二种情况，要删除的节点只有左子节点，我们还是用上面的例子，此时18就是一个只有左子节点的节点

如果我们要删除2，只需要将2的父节点 和2的左子节点链接，然后直接删除2即可。

第三种情况，要删除的节点只有右子节点，此时13就是一个只有右子节点的节点

如果我们要删除13，只需要将13的父节点 和13的右子节点链接，然后直接删除13即可

总结，第二种和第三种情况的删除方式其实也适用于第一种情况，因为无子节点，也就是左右都为空，此时父节点链接的是一个空指针，并删除目标节点即可。

第四种：要删除的节点有左、右节点，此时23符合要求

我们的目标是，在23的子树中寻找一个值，将23与这个值交换。这种方法叫做替换法。

要寻找的值必须满足交换后二叉搜索树的性质不变，所以我们需要在23的左子树找出一个最大值，或者在23的右子树找出一个最小值。

前面提到过对二叉搜索树中序遍历可以得到一个有序的序列，所以23的子树的最大值，也就是在左子树中做一次中序遍历下的最后一个数，也就是21。简单来说，我们只需要从23向左走一步，然后一直向右走，就可以找到左子树的最大值了

而23的右子树的最小值，也就是在右子树中做一次中序遍历下的第一个数，也就是26。和上面类似的，我们只需要从26向右走一步，然后一直向左走，就可以找到右子树的最小值了。

因此，我们可以将23和21替换，或者将23和26替换

这里就只展示23和21替换的情况，当学会规律后，另一种情况也就学会了。

替换后，还需要把23的父节点和23的子节点链接，这里又有两种情况需要区分，否则导致错误：

替换后23的父节点位于23原先的位置

替换后23的父节点不位于23原先的位置

可以看出，在这种情况下23的父节点位于23原先的位置，那么就要将此时23的左子节点赋值给父节点的left，然后就可以直接删除23了

我们改造一下这颗二叉搜索树.使父节点不位于原先的位置(另一种情况)

假设我们要删去12（改造后12的左子树的最大值为11）

此时，就需要将12的左子节点赋值给父节点的right，然后直接删除12。

这里是一个易错点，需要注意情况的判断。以上是对二叉搜索树的操作部分。

因此我们引出了两种写法,

以下是先考虑parent与cur这两代人之间的关系所写的代码

cpp 复制代码

public:
	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				if (parent == nullptr)
				{
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						_root = cur->_right;
						delete cur;
						return true;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						_root = cur->_left;
						delete cur;
						return true;
					}
					else
					{
						Node* leftMaxParent = cur;
						Node* leftMax = cur->_left;
						if (leftMax->_right == nullptr)
						{
							leftMax->_right = cur->_right;
							delete cur;
							_root = leftMax;
							return true;
						}
						while (leftMax->_right)
						{
							leftMaxParent = leftMax;
							leftMax = leftMax->_right;
						}
						std::swap(leftMax->_key, cur->_key);
						leftMaxParent->_right = leftMax->_left;
						delete leftMax;
						leftMax = nullptr;
						return true;
					}
				}
				if (parent->_left == cur)
				{
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						parent->_left = cur->_right;
						delete cur;
						return true;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						parent->_left = cur->_left;
						delete cur;
						return true;
					}
					else 
					{
						Node* leftMaxParent = cur;
						Node* leftMax = cur->_left;
						if (leftMax->_right == nullptr)
						{
							leftMax->_right = cur->_right;
							delete cur;
							parent->_left = leftMax;
							return true;
						}
						while (leftMax->_right)
						{
							leftMaxParent = leftMax;
							leftMax = leftMax->_right;
						}
						std::swap(leftMax->_key, cur->_key);
						leftMaxParent->_right = leftMax->_left;
						delete leftMax;
						leftMax = nullptr;
						return true;
					}
				}
				else
				{
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						parent->_right = cur->_right;
						delete cur;
						return true;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						parent->_right = cur->_left;
						delete cur;
						return true;
					}
					else
					{
						Node* leftMaxParent = cur;
						Node* leftMax = cur->_left;
						if (leftMax->_right == nullptr)
						{
							leftMax->_right = cur->_right;
							delete cur;
							parent->_right = leftMax;
							return true;
						}
						while (leftMax->_right)
						{
							leftMaxParent = leftMax;
							leftMax = leftMax->_right;
						}
						std::swap(leftMax->_key, cur->_key);
						leftMaxParent->_right = leftMax->_left;
						delete leftMax;
						leftMax = nullptr;
						return true;
					}
				}
			}
		}
		return false;
	}

以下是根据先考虑cur与其孩子之间的关系所写的代码

cpp 复制代码

public:
	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (parent == nullptr)
					{
						_root = cur->_right;
					}
					else if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else if (parent->_right == cur)
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (parent == nullptr)
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else if (parent->_left == cur)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else if (parent->_right = cur)
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}
				else
				{
					Node* leftMax = cur->_left;
					Node* leftMaxParent = cur;
					while (leftMax->_right)
					{
						leftMaxParent = leftMax;
						leftMax = leftMax->_right;
					}
					std::swap(cur->_key, leftMax->_key);
					if (leftMaxParent->_left == leftMax)
					{
						leftMaxParent->_left = leftMax->_left;
					}
					else
					{
						leftMaxParent->_right = leftMax->_left;
					}

					cur = leftMax;
				}
				delete cur;
				return true;
			}
		}
	}

这两种方法都可以完成这个接口，但是代码量有显著的差异。这里推荐先考虑cur和其后代之间的关系。因为替代法这个出现于cur与其后代之间的关系之中。

8.二叉搜索树的查找（递归）

前面,都是讲的非递归,此处为补充(能用迭代还是用迭代去找)

二叉树其实本身还是比较适合递归的。为了可以控制参数，我们要写一个子函数去解决，当根节点为空的时候，直接返回false即可，当前的结点小于要查找的结点，那么去右子树找，当大于时候，去左子树找即可。

cpp 复制代码

public:
	bool FindR(const K& key)
	{
		return _FindR(_root, key);
	}
private:
	bool _FindR(Node* root, const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return false;
		}
		if (root->_key == key)
		{
			return true;
		}
		else if (root->_key > key)
		{
			return _FindR(root->_left, key);
		}
		else
		{
			return  _FindR(root->_right, key);
		}
	}

9.二叉搜索树的插入（递归）

大体思路同上,也是补充而已

cpp 复制代码

public:
	bool InsertR(const K& key)
	{
		return _InsertR(_root, key);
	}
private:
	bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key);
			return true;
		}
		if (root->_key < key)
		{
			return _InsertR(root->_right, key);
		}
		else if (root->_key > key)
		{
			return _InsertR(root->_left, key);
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

10.二叉搜索树的删除（递归）

这个写的挺妙的

cpp 复制代码

public:	
	bool EraseR(const K& key)
	{
		return _EraseR(_root, key);
	}
private:
	bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return false;
		}
		if (root->_key < key)
		{
			return _EraseR(root->_right, key);
		}
		else if (root->_key > key)
		{
			return _EraseR(root->_left, key);
		}
		else
		{
			Node* del = root;
			if (root->_left == nullptr)
			{
				root = root->_right;
			}
			else if (root->_right == nullptr)
			{
				root = root->_left;
			}
			else
			{
				Node* leftMax = root->_left;
				while (leftMax->_right)
				{
					leftMax = leftMax->_right;
				}
				std::swap(leftMax->_key, root->_key);
				return _EraseR(root->_left, key);
			}
			delete del;
			return true;
		}
	}

11.二叉搜索树的销毁

拉欧i据直接按照后序的方式进行销毁即可。

cpp 复制代码

public:
	~BSTree()
	{
		_Destory(_root);
	}
private:
	void _Destory(Node*& root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_Destory(root->_left);
		_Destory(root->_right);
		delete root;
		root == nullptr;
	}

这里最好传引用，因为这样可以置空root指针

12.拷贝构造函数

拷贝构造函数，我们需要实现一个深拷贝，和之前的二叉树基本一样,我们讲deque时也做过了。

这里我们使用先序的方式进行构造：

cpp 复制代码

public:
	BSTree(const BSTree<K>& t)
	{
		_root = Copy(t._root);
	}
private:
	Node* Copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return nullptr;
		}
		Node* Copyroot = new Node(root->_key);
		Copyroot->_left = Copy(root->_left);
		Copyroot->_right = Copy(root->_right);

		return Copyroot;
	}

13.运算符重载

这里主要用的还是赋值运算符重载吧,

现代写法启动:

cpp 复制代码

public:
	BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
	{
		std::swap(_root, t._root);
		return *this;
	}

14.二叉搜索树的实现

cpp 复制代码

template<class K>
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode<K>* _left;
	BSTreeNode<K>* _right;
	K _key;
 
	BSTreeNode(const K& key)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_key(key)
	{}
};
 
template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
 
	bool insert(const K& key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}
 
		Node* prev = nullptr;
		Node* cur = _root;
 
		while (cur)
		{
			prev = cur;
			if (key > cur->_key)
				cur = cur->_right;
			else if (key < cur->_key)
				cur = cur->_left;
			else
				return false;
		}
 
		cur = new Node(key);
 
		if (key > prev->_key)
			prev->_right = cur;
		else
			prev->_left = cur;
		return true;
	}
 
	bool insertR(const K& key) //递归版本
	{
		return _insertR(_root, key);
	}
 
	bool find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
 
		while (cur)
		{
			if (key > cur->_key)
				cur = cur->_right;
			else if (key < cur->_key)
				cur = cur->_left;
			else
				return true;
		}
 
		return false;
	}
 
	bool findR(const K& key) //递归版本
	{
		return _findR(_root, key);
	}
 
	bool erase(const K& key) //替换法：把目标替换成左子树的最大值或右子树的最小值
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
 
		while (cur)
		{
			if (key > cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (key < cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				if (cur->_left == nullptr) //左子树为空
				{
					if (cur == _root)
						_root = cur->_right;
					else
					{
						if (cur == parent->_right)
							parent->_right = cur->_right;
						else
							parent->_left = cur->_right;
					}
				}
				else if(cur->_right == nullptr) //右子树为空
				{
					if (cur == _root)
						_root = cur->_left;
					else
					{
						if (cur == parent->_left)
							parent->_left = cur->_left;
						else
							parent->_right = cur->_left;
					}
				}
				else //左右子树都不为空
				{
					parent = cur;
					Node* leftmid = cur->_left;
					while (leftmid->_right)
					{
						parent = leftmid;
						leftmid = leftmid->_right;
					}
					swap(cur->_key, leftmid->_key);
					if (parent == cur)
						parent->_left = leftmid->_left;
					else
						parent->_right = leftmid->_left;
					cur = leftmid;
				}
 
				delete cur;
				return true;
			}
		}
		return false;
	}
 
	bool eraseR(const K& key) //递归版本
	{
		return _eraseR(_root, key);
	}
 
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
 
	BSTree() = default;
 
	BSTree(const BSTree<K>& t)
	{
		_root = copy(t._root);
	}
 
	~BSTree()
	{
		Destroy(_root);
	}
 
private:
	Node* copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return nullptr;
 
		Node* newroot = new Node(root->_key);
		newroot->_left = copy(root->_left);
		newroot->_right = copy(root->_right);
 
		return newroot;
	}
 
	void Destroy(Node*& root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
 
		Destroy(root->_left);
		Destroy(root->_right);
		delete root;
		root = nullptr;
	}
 
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}
 
	bool _findR(Node* root, const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
			return false;
		if (root->_key == key)
			return true;
 
		if (key > root->_key)
			return _findR(root->_right, key);
		else
			return _findR(root->_left, key);
	}
 
	bool _insertR(Node*& root, const K& key) //参数中指针一定要用引用，不然链接不上
	{
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key);
			return true;
		}
		if (key > root->_key)
			return _insertR(root->_right, key);
		else if (key < root->_key)
			return _insertR(root->_left, key);
		else
			return false;
	}
 
	bool _eraseR(Node*& root, const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
			return false;
 
		if (key > root->_key)
			return _eraseR(root->_right, key);
		else if (key < root->_key)
			return _eraseR(root->_left, key);
		else
		{
			if (root->_left == nullptr)
			{
				Node* tmp = root;
				root = root->_right; //由于引用，root是父节点子树的别名，所以可以直接修改
				delete tmp;
			}
			else if (root->_right == nullptr)
			{
				Node* tmp = root;
				root = root->_left;
				delete tmp;
			}
			else
			{
				Node* leftmid = root->_left;
				while (leftmid->_right)
					leftmid = leftmid->_right;
				swap(root->_key, leftmid->_key);
				return _eraseR(root->_left, key);
			}
			return true;
		}
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

三、二叉搜索树的应用

1）key模型

即只有key作为关键码，只需要在二叉搜索树中存储一个key即可。例如我们将业主的信息作为key，将整个小区所有业主的key存储进二叉搜索树中，如果此时要查询一个人是否是小区的业主，只需要将他的key在二叉搜索树中查找一下就可以知道这个人是否是业主了。后面要学习的set，就是一个key模型

2）key/value模型

每一个关键码key，都有与之对应的值value，也就是要在二叉搜索树中存储<key, value>的键值对。例如字典就是一个key/value模型，英文单词作为key，中文作为value，通过key就可以查找到value。又例如哈希表或者类似的用于统计某个物品出现次数的结构，通过查找该物品就可以快速得到其出现次数，这也是一个key/value模型。后面要学习的map，就是一个key/value模型我们可以将二叉搜索树改造为key/value的结构，让节点中多存储一个value，再进行一些修改即可

cpp 复制代码

template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode<K, V>* _left;
	BSTreeNode<K, V>* _right;
	K _key;
	V _val;
 
	BSTreeNode(const K& key, const V& val)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _key(key)
		, _val(val)
	{}
};
 
template<class K, class V>
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool insert(const K& key, const V& val)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key, val);
			return true;
		}
 
		Node* prev = nullptr;
		Node* cur = _root;
 
		while (cur)
		{
			prev = cur;
			if (key > cur->_key)
				cur = cur->_right;
			else if (key < cur->_key)
				cur = cur->_left;
			else
				return false;
		}
 
		cur = new Node(key, val);
 
		if (key > prev->_key)
			prev->_right = cur;
		else
			prev->_left = cur;
		return true;
	}
 
	Node* find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
 
		while (cur)
		{
			if (key > cur->_key)
				cur = cur->_right;
			else if (key < cur->_key)
				cur = cur->_left;
			else
				return cur;
		}
 
		return nullptr;
	}
 
	bool erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
 
		while (cur)
		{
			if (key > cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (key < cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
						_root = cur->_right;
					else
					{
						if (cur == parent->_right)
							parent->_right = cur->_right;
						else
							parent->_left = cur->_right;
					}
				}
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
						_root = cur->_left;
					else
					{
						if (cur == parent->_left)
							parent->_left = cur->_left;
						else
							parent->_right = cur->_left;
					}
				}
				else
				{
					parent = cur;
					Node* leftmid = cur->_left;
					while (leftmid->_right)
					{
						parent = leftmid;
						leftmid = leftmid->_right;
					}
					swap(cur->_key, leftmid->_key);
					if (parent == cur)
						parent->_left = leftmid->_left;
					else
						parent->_right = leftmid->_left;
					cur = leftmid;
				}
 
				delete cur;
				return true;
			}
		}
		return false;
	}
 
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
 
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " : " << root->_val << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
 
private:
	Node* _root = nullptr;
};

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