机器学习——逻辑回归（学习笔记）

通过函数 z，线性回归使用输入的特征矩阵 x 来输出一组连续型的标签值 y_pred，以完成各种预测连续型变量的任务。如果得到的标签是离散型变量，尤其是满足 0-1 分布的离散型变量，我们可以通过引入 联系函数（link function） ，将线性回归方程 z 变换为 g（z），并且令 g（z）的值分布在（0,1）之间，且当 g（z）接近 0 时样本的标签为类别 0，当 g（z）接近1时样本的标签为类别 1，这样就得到了一个 分类模型。而这个联系函数对于逻辑回归来说，就是 Sigmoid函数：

Sigmoid 函数与 MinMaxSclaer 同理，是属于数据预处理中的 "缩放" 功能，可以将数据压缩到［0,1］之内。区别在于 MinMaxScaler 归一化之后，是可以取到 0 和 1 的（最大值归一化后就是 1，最小值归一化后就是 0），但 Sigmoid 函数只是无限趋近于 0 和 1。

将 z 带入，可得到二元逻辑回归模型的一般形式：

而 y（x）就是逻辑回归返回的标签值。此时，y（x）的取值都在 [0,1] 之间，因此 y（x）和 1-y（x）相加必然为 1。如果令 y（x）除以1-y（x）可以得到 **形似几率（odds）**的式子，在此基础上取对数，可以得到：

y（x）的形似几率取对数的本质其实就是线性回归 z，我们实际上是在对线性回归模型的预测结果取对数几率来让其的结果无限逼近 0 和 1。因此，其对应的模型被称为 "对数几率回归" （logistic Regression），也就是逻辑回归，这个名为 "回归" 却是用来做分类工作的分类器。

二、二元逻辑回归（LogisticRegression）

涉及模块：sklearn.linear_model

1. 损失函数

逻辑回归有着基于训练数据求解参数 𝜃 的需求，并且希望训练出来的模型能够尽可能地拟合训练数据，即模型在训练集上的预测准确率越靠近 100%越好。

使用 "损失函数" 这个评估指标，来衡量参数为 𝜃 的模型拟合训练集时产生的信息损失的大小，并以此衡量参数 𝜃 的优劣。*++损失函数小，模型在训练集上表现优异，拟合充分，参数优秀；损失函数大，模型在训练集上表现差劲，拟合不足，参数糟糕。++*我们追求，能够让损失函数最小化的参数组合。损失函数具体可以写成：

其中，𝜃 表示求解出来的一组参数，m是样本的个数，yi 是样本 i 上真实的标签，y𝜃（xi）是样本i上，基于参数 𝜃 算出来的逻辑回归返回值，xi 是样本 i 各个特征的取值。

由于追求损失函数的最小值，让模型在训练集上表现最优，可能会引发另一个问题：如++果模型在训练集上表示优秀，却在测试集上表现糟糕，模型就会过拟合++。虽然逻辑回归和线性回归是天生欠拟合的模型，但我们还是需要控制过拟合的技术来帮助我们调整模型。对逻辑回归中过拟合的控制，通过正则化来实现。

2. 正则化

涉及参数：penalty & C

正则化是用来防止模型过拟合的过程，常用的有 L1 正则化和 L2 正则化两种选项，分别通过在损失函数后加上参数向量 0 的 L1范式和 L2范式的倍数来实现。这个增加的范式，被称为 "正则项"，也被称为 "惩罚项"。

L1 正则化会将参数压缩为 0，L2 正则化只会让参数尽量小，不会取到 0。L1 正则化本质是一个特征选择的过程，掌管了参数的 "稀疏性"，L1 正则化越强，参数向量中就越多的参数为 0，参数就越稀疏，选出来的特征就越少，以此来防止过拟合；L2 正则化在加强的过程中，会尽量让每个特征对模型都有一些小的贡献，但携带信息少，对模型贡献不大的特征的参数会非常接近于 0。

3. 梯度下降

涉及参数：max_iter

根据损失函数：

对这个函数上的自变量 𝜃 求偏导，就可以得到梯度向量在第 j 组 𝜃 的坐标点上的表示形式：

在这个公式下，只要给定一组 𝜃 的取值 𝜃j；，再带入特征矩阵 x，就可以求得这一组 𝜃 取值下的预测结果 y𝜃（xi），结合真实标签向量 y，就可以获得这一组 𝜃j 取值下的梯度向量，其大小表示为 dj。我们的目的是在可能的 𝜃 取值上进行遍历，一次次计算梯度向量，并在梯度向量的反方向上让损失函数 J 下降至最小值。在这个过程中，我们的 𝜃 和梯度向量的大小 d 都会不断改变，而我们遍历 𝜃 的过程可以描述为：

其中 𝜃 j+1 是第 j 次迭代后的参数向量，𝜃j 是第 j 次迭代是的参数向量，𝛂被称为步长，控制着每走一步（每迭代一次）后 𝜃 的变化，并以此来影响每次迭代后的梯度向量的大小和方向。

sklearn当中，我们设置参数 max_iter 最大迭代次数来代替步长，帮助我们控制模型的迭代速度并适时地让模型停下。++max_iter 越大，代表步长越小，模型迭代时间越长，反之，则代表步长设置很大，模型迭代时间很短。++

4. 二元回归与多元回归

涉及参数：solver & multi_class

"liblinear" 是二分类专用。

三、sklearn中的逻辑回归（自查）

1. 分类

2. 参数列表

3. 属性列表

4. 接口列表

四、逻辑回归优点

1. 逻辑回归对线性关系的拟合效果非常好，特征与标签之间的线性关系极强的数据，都是逻辑回归的强项。

2. 对于线性数据，逻辑回归的拟合和计算都非常快，计算效率优于SVM和随机森林。

3. 逻辑回归返回的分类结果不是固定的 0、1，而是以小数形式呈现的类概率数字，因此可以把逻辑回归返回的结果当成连续型数据来利用。