B树和B+树的插入、删除

1. B树

1.1 B树的定义

树也称树,它是一颗多路平衡查找树。我们描述一颗树时需要指定它的阶数,阶数表示了一个结点最多有多少个孩子结点,用字母表示阶数。当时,就是我们常见的二叉搜索树。

一颗阶的树定义如下:

  • 每个结点最多有个关键字。
  • 根结点最少可以只有个关键字。
  • 非根结点至少有个关键字。
  • 每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列,每个关键字的左子树中的所有关键字都小于该结点,而右子树中的所有关键字都大于该结点。
  • 所有叶子结点都位于同一层,或者说根结点到每个叶子结点的长度都相同。

上图是一颗阶数为树。在实际应用中的树的阶数都非常大(通常大于),所以即使存储大量的数据,树的高度仍然比较小。每个结点中存储了关键字和关键字对应的数据,以及孩子结点的指针。我们将一个和其对应的称为一个记录。为方便描述,除非特别说明,后续文中就用来代替键值对这个整体。在数据库中我们将树(和树)作为索引结构,可以加快查询速速,此时树中的就表示键,而表示了这个键对应的条目在硬盘上的逻辑地址。

1.2 B树的插入操作

插入操作是指插入一条记录,即的键值对。如果树中已存在需要插入的键值对,则用需要插入的替换旧。若树不存在该,则一定是在叶子结点中进行插入操作。

  1. 根据要插入的的值,找到叶子结点并插入;
  2. 判断当前结点的个数是否小于等于,若满足则结束,否则进行第3步;
  3. 以结点中间的为中心分裂成左右两部分,将这个中间的插入到父结点中,让这个的左侧指针指向分裂后的左半部分,的右侧指针指向分裂后的右半部分,然后设置当前结点指向父结点(也就是此时所在的结点),继续进行第3步;
  4. 下面以树为例,介绍树的插入操作,结点最多有,最少有

a)在空树中插入

此时根结点就一个,此时根结点也是叶子结点


b)继续插入

根结点此时有


c)继续插入

插入后超过了最大允许的关键字个数,以值为为中心进行分裂,结果如下图所示,分裂后当前结点指针指向父结点,满足树条件,插入操作结束。当阶数为偶数时,需要分裂时就不存在排序恰好在中间的,那么选择中间位置的前一个或后一个为中心进行分裂即可。


d)依次插入,同样会造成分裂,结果如下图所示。


e)依次插入, ,结果如下图所示。


f)插入值为的记录,插入后的结果如下图所示。

当前结点需要以为中心分裂,并向父结点插入,然后当前结点指向父结点,结果如下图示。


父(当前即根结点)结点插入后导致父结点也需要分裂,分裂的结果如下图所示。

分裂后当前结点指向新的根,此时无需调整。


g)最后再依次插入的记录,结果如下图所示。

在实现树的代码中,为了使代码编写更加容易,我们可以将结点中存储记录的数组长度定义为而非,这样方便底层的结点由于分裂向上插入一个记录时,上层有多余位置暂存这个记录。同时,每个结点还可以存储它的父结点的引用,这样就不必编写递归程序。

一般来说,对于确定的和确定类型的记录,结点大小是固定的,无论它实际存储了多少个记录。但是分配固定结点大小的方法会存在浪费的情况,比如所在的结点,还有的位置没有使用,但已不可能再在此插入任何值了,因为这个结点的前序是27,后继,所有整数值都用完了。

1.3 B树的删除操作

删除操作是指,根据删除记录,如果树中的记录中不存对应的记录,则删除失败。

  1. 如果当前需要删除的位于非叶子结点上,则用后继(这里的后继均指后继记录的意思)覆盖要删除的,然后在后继所在的子支中删除该后继key。后继一定位于叶子结点上,这个过程和二叉搜索树删除结点的方式类似。删除这个记录后执行第2步;
  2. 该结点个数大于等于,结束删除操作,否则执行第3步;
  3. 如果兄弟结点个数大于,则在父结点与兄弟结点夹住的下移到当前结点,兄弟结点中的一个上移到父结点,删除操作结束;
  4. 否则,将父结点中的下移与当前结点及它的兄弟结点中的合并,形成一个新的结点。原父结点中的的两个孩子指针就变成了一个孩子指针,指向这个新结点。然后当前结点的指针指向父结点,重复上第2步。

有些结点它可能即有左兄弟,又有右兄弟,那么我们任意选择一个兄弟结点进行操作即可。

下面以树为例,介绍树的删除操作,树中,结点最多有,最少有


a)原始状态


b)在上面的树中删除,删除后结点中的关键字个数仍然大于等,所以删除结束。


c)在上述情况下接着删除。从上图可知位于非叶子结点中,所以用的后继替换它。图中可以看出,的后继为,我们用替换,然后在(原)的右孩子结点中删除。删除后的结果如下图所示。

删除后发现,当前叶子结点的记录的个数小于,而它的兄弟结点中有个记录(当前结点还有一个右兄弟,选择右兄弟就会出现合并结点的情况,不论选哪一个都行,只是最后树的形态会不一样而已),我们可以从兄弟结点中借取一个。所以父结点中的下移,兄弟结点中的上移,删除结束。结果如下图所示。


d)在上述情况下接着,结果如下图。

当删除后,当前结点中只,而兄弟结点中也仅有。只能让父结点中的下移和这两个孩子结点中的合并,成为一个新的结点,当前结点的指针指向父结点。结果如下图所示。

当前结点的个数满足条件,故删除结束。


e)上述情况下,我们接着删除的记录,删除后结果如下图所示。

同理,当前结点的记录数小于,兄弟结点中没有多余,所以父结点中的下移,和兄弟(这里我们选择左兄弟,选择右兄弟也可以)结点合并,合并后的指向当前结点指针指向父结点。

同理,对于当前结点而言只能继续合并了,最后结果如下所示。

合并后结点当前结点满足条件,删除结束。

B+树

2.1 B+树的定义

各种资料上树的定义各有不同,一种定义方式是关键字个数和孩子结点数相同。这里我们采取维基百科上所定义的方式,即关键字个数比孩子结点个数小,这种方式是和B树基本等价的。上图就是一颗阶数为树。

除此之外树还有以下的要求。

  • 树包含种类型结点:内部结点(也称索引结点)和叶子结点。根结点本身既可以是内部结点,也可以是叶子结点。根结点的个数最少可以只有个;
  • 树与树最大的不同是内部结点不保存数据,只用于索引,所有的数据(或者说记录)都保存在叶子结点中;
  • 树表示了内部结点最多有(或者说内部结点最多有个子树),阶数同时限制了叶子结点最多存储个记录;
  • 内部结点中的都按照从小到大的顺序排列,对于内部结点中的一个,左树中的所有都小于它,右子树中的都大于等于它。叶子结点中记录也按照大小排列;
  • 每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针,叶子结点本身依自小而大顺序链接。

2.2 B+树的插入操作

  1. 若为空树,创建一个叶子结点,然后将记录插入其中,此时这个叶子结点也是根结点,插入操作结束;
  2. 根据值找到叶子结点,向这个叶子结点插入记录。插入后,当前结点的个数小于等于,则插入结束。否则将这个叶子结点分裂成左右两个叶子结点,左叶子结点包含前个记录,右结点包含剩下记录,将第个记录的进位到父结点中(父结点一定是索引类型结点),父结点左侧孩子指针向左结点,右侧孩子指针向右结点。将当前结点的指针指向父结点,然后执行第3步;
  3. 若当前非叶子结点的个数不多于,则插入结束。否则,将这个索引类型结点分裂成两个索引结点,左索引结点包含前个key,右结点包含,将第进位到父结点中,父结点的左孩子指向左结点,父结点的右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点,然后重复第3步。

下面是一颗树的插入过程,数的非根结点最少,最多4个


a)空树中插入


b)依次插入


c)插入

插入后超过了关键字的个数限制,所以要进行分裂。在叶子结点分裂时,分裂出来的左结点个记录,右边个记录,中间成为索引结点中的,分裂后当前结点指向父结点(根结点)。结果如下图所示。

当然还有另一种分裂方式,给左结点个记录,右结点个记录,此时索引结点中的就变为


d)插入


e)插入,插入后如下图所示

当前结点的关键字个数大于,进行分裂。分裂成两个结点,左结点个记录,右结点个记录,进到父结点(索引类型)中,将当前结点的指针指向父结点。

当前结点的关键字个数满足条件,插入结束。


f)插入若干数据后


g)在上图中插入,结果如下图所示

当前结点的关键字个数超过,需要分裂。左结点个记录,右结点个记录。分裂后关键字进入到父结点中,将当前结点的指针指向父结点,结果如下图所示。

当前结点关键字个数超过,需要继续分裂。左结点个关键字,右结点个关键字,进入父结点中,将当前结点指向父结点,结果如下图所示。

当前结点的关键字个数满足条件,插入结束。

2.3 B+树的删除操作

如果叶子结点中没有相应的,则删除失败。否则执行下面的步骤

  1. 删除叶子结点中对应的。删除后若结点的的个数大于等于,删除操作结束,否则执行第步;
  2. 若兄弟结点有大于,向兄弟结点借一个,同时用借到的替换父结点(指当前结点和兄弟结点共同的父结点)中的,删除结束。否则执行第步;
  3. 若兄弟结点中没有富余的,则当前结点和兄弟结点合并成一个新的叶子结点,并删除父结点中的(父结点中的这个两边的孩子指针就变成了一个指针,正好指向这个新叶子结点),将当前结点指向父结点(必为索引结点),执行第步(以后操作和树完全一样,主要是为了更新索引结点);
  4. 若索引结点的的个数大于等于,则删除操作结束,否则执行第步;
  5. 若兄弟结点有富余,父结点下移,兄弟结点上移,删除结束,否则执行第步;
  6. 当前结点和兄弟结点及父结点下移合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点,重复第步。

注意,通过树的删除操作后,索引结点中存在的,不一定在叶子结点中存在对应的记录。

下面是一颗树的删除过程,数的结点最少,最多


a)初始状态


b)删除,删除后结果如下图

删除后叶子结点中的个数大于等于,删除结束


c)删除,删除后的结果如下图所示

删除后当前结点只有,不满足条件,而兄弟结点有,可以从兄弟结点借的记录,同时更新将父结点中的关键字由也变为,删除结束。


d)删除,删除后的结果如下图所示

当前结点关键字个数小于,(左)兄弟结点中的也没有富余的关键字(当前结点还有个右兄弟,不过选择任意一个进行分析就可以了,这里我们选择了左边的),所以当前结点和兄弟结点合并,并删除父结点中的,当前结点指向父结点。

此时当前结点的关键字个数小于,兄弟结点的关键字也没有富余,所以父结点中的关键字下移,和两个孩子结点合并,结果如下图所示。

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