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[1 AVL 树](#1 AVL 树)
[1.1 AVL树的概念](#1.1 AVL树的概念)
[1.2 AVL树节点的定义](#1.2 AVL树节点的定义)
[1.3 AVL树的插入](#1.3 AVL树的插入)
[1.4 AVL树的旋转](#1.4 AVL树的旋转)
[1.5 AVL树的验证](#1.5 AVL树的验证)
1 AVL 树
1.1 AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查
找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下。因此,两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。
为什么保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1,而不是高度差为0?
有些结点情况下,比如2/4,做不到平衡,因此退而求其次,左右的高度差不超过1。
一棵AVL树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
- 高度之差 == 右树高度 - 左树高度(博主实现AVL树以这个为标准)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的,它就是AVL树。如果它有n个结点,其高度可保持在
O(log2 n),搜索时间复杂度O(log2 n)。
1.2 AVL树节点的定义
AVL树的节点定义的成员变量:
- 存储值:每个节点存储的值。
- 左节点指针:指向当前节点的左节点的指针。
- 右节点指针:指向当前节点的右节点的指针。
- 双亲节点指针:指向当前节点的双亲节点的指针。根节点的双亲节点指针为空。
- 平衡因子:表示当前节点的右子树高度和左子树高度之差。平衡因子可以为-1、0或1。
AVL树节点的定义:
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;// 左孩子
AVLTreeNode<K, V>* _right;// 右孩子
AVLTreeNode<K, V>* _parent;// 双亲
pair<K, V> _kv;
int _bf;// balance factor 平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{}
};
AVL树基本结构的定义:
template<class K,class V>
class AVLTree
{
// 重命名结点
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
// 插入
bool Insert(const pair<K,V>& kv);
// 判平衡
bool IsBalance()
// 求高度
int Height()
// 求结点个数
int Size()
// 查找
Node* Find(const K& key)
// 中序遍历
void InOrder()
private:
// 结点成员
Node* _root = nullptr;
};
1.3 AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子,因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步:
-
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
-
- 调整节点的平衡因子
按照搜索树规则插入节点
bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{
// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
// 插入值更大则插入到右边
// .优先级高于->
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
// 小则在左边
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
// 二叉搜索树默认不能冗余,因此相等则返回false
else
{
return false;
}
}
// 为空则找到插入位置 需要先找到父亲的位置
// key值大于父亲的值则在右侧
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
// 链接双亲结点,搜索二叉树没有双亲结点
cur->_parent = parent;
//...
}
更新插入节点的平衡因子
cur插入后,parent的平衡因子一定需要调整,在插入之前,parent的平衡因子分为三种情况:-1,0, 1, 分以下两种情况:
- 如果cur插入到pParent的左侧,只需给parent的平衡因子-1即可
- 如果cur插入到pParent的右侧,只需给parent的平衡因子+1即可
此时:parent的平衡因子可能有三种情况:0,正负1, 正负2
- 如果parent的平衡因子为0,说明插入之前parent的平衡因子为正负1,插入后被调整成0,此时满足AVL树的性质,插入成功
- 如果parent的平衡因子为正负1,说明插入前parent的平衡因子一定为0,插入后被更新成正负1,此时以parent为根的树的高度增加,需要继续向上更新
- 如果parent的平衡因子为正负2,则parent的平衡因子违反平衡树的性质,需要对其进行旋转处理
bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{
// 2. 新节点插入后,AVL树的平衡性可能会遭到破坏,此时就需要更新平衡因子,并检测是否破坏了AVL树的平衡性
// 更新平衡因子
while (parent)// 最坏情况为空结束循环
{
// 插入父亲的左边,父亲的平衡因子--
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
// 插入父亲的右边,父亲的平衡因子++
else
{
parent->_bf++;
}
// 判断父亲的平衡因子的情况
// 平衡因子为0,树高度没变,不再更新
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
// 父亲的子树高度变了,需要继续更新平衡因子
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
// 父亲所在的子树高度不平衡,需要旋转处理
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 旋转
}
// 理论上不可能出现该情况
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
1.4 AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点,可能造成不平衡,此时必须调整树的结构,
使之平衡化。根据节点插入位置的不同,AVL树的旋转分为四种:
1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左:右单旋
抽象图
具象图
上图在插入前,AVL树是平衡的,新节点插入到30的左子树(注意:此处不是左孩子)中,30左子树增加了一层,导致以60为根的二叉树不平衡,要让60平衡,只能将60左子树的高度减少一层,右子树增加一层,即将左子树往上提,这样60转下来,因为60比30大,只能将其放在30的右子树,而如果30有右子树,右子树根的值一定大于30,小于60,只能将其放在60的左子树,旋转完成后,更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中,有以下几种情况需要虑:
1. 30节点的右孩子可能存在,也可能不存在
2. 60可能是根节点,也可能是子树
- 如果是根节点,旋转完成后,要更新根节点
- 如果是子树,可能是某个节点的左子树,也可能是右子树
代码
// 右单旋 左边较高
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 更新parent
parent->_left = subLR;
// subLR不为空则更新父亲,subLR为30的右孩子
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;//xxx
// 提前存parent的父亲
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
// parent为根节点
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
// parent为ppNode的左结点
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
// 更新平衡因子
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右:左单旋
1. 60节点的左孩子可能存在,也可能不存在
2. 30可能是根节点,也可能是子树
- 如果是根节点,旋转完成后,要更新根节点
- 如果是子树,可能是某个节点的左子树,也可能是右子树
代码
// 左单旋 右边较高
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
// 更新parent
parent->_right = subRL;
// subRL不为空,subRL为60的左孩子
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
// 提前存parent的父结点
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
// parent为根节点
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
// 左
if (parent == ppNode->_right)
{
ppNode->_right = subR;
}
else
{
ppNode->_left = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
// 平衡因子
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右:先左单旋再右单旋
抽象图
在 b 子树中插入
在 c 子树中插入
具象图
将双旋变成单旋后再旋转,即:先对30进行左单旋,然后再对90进行右单旋,旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。
// 左右单旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
// 先对左孩子左单旋
RotateL(parent->_left);
// 再对parent右单旋
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左:先右单旋再左单旋
抽象图
在c 子树中插入
在 b 子树中插入
具象图
将双旋变成单旋后再旋转,即:先对90进行右单旋,然后再对30进行左单旋,旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;//决定最终平衡因子的情况
// 先对右孩子右单旋
RotateR(parent->_right);
// 再对自己左单旋
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
注意:双旋之后需要调节根据情况调节平衡因子,单旋之后平衡因子都为0。
总结:
假如以parent为根的子树不平衡,即parent的平衡因子为2或者-2,分以下情况考虑
1. parent的平衡因子为2,说明parent的右子树高,设parent的右子树的根为SubR
- 当SubR的平衡因子为1时,执行左单旋
- 当SubR的平衡因子为-1时,执行右左双旋
2. parent的平衡因子为-2,说明parent的左子树高,设parent的左子树的根为SubL
- 当SubL的平衡因子为-1是,执行右单旋
- 当SubL的平衡因子为1时,执行左右双旋
旋转完成后,原parent为根的子树个高度降低,已经平衡,不需要再向上更新。
1.5 AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制,因此要验证AVL树,可以分两步:
1. 验证其为二叉搜索树
- 如果中序遍历可得到一个有序的序列,就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
- 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
- 节点的平衡因子是否计算正确
高度计算
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
// 左右子树较高树的高度+1
return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
}
判断平衡
1.空树则满足平衡搜索二叉树
2.判断当前结点高度差的绝对值是否小于等于1
3.检查平衡因子是否正确
4.继续判断左子树与右子树
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 不平衡能直接返回结果
if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
return false;
// 顺便检查一下平衡因子是否正确
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << endl;
return false;
}
return _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
}
1.7 AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树,其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1,这样可以保证查询时高效的时间复杂度,即log2 N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作,性能非常低下,比如:插入时要维护其绝对平衡,旋转的次数比较多,更差的是在删除时,有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此:如果需要一种查询高效且有序的数据结构,而且数据的个数为静态的(即不会改变),可以考虑AVL树,但一个结构经常修改,就不太适合。
1.8 AVL树完整代码
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf;// balance factor
AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{}
};
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
// 插入值更大则插入到右边
// .优先级高于->
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
// 小则在左边
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
// 二叉搜索树默认不能冗余,因此相等则返回false
else
{
return false;
}
}
// 为空则找到插入位置 需要先找到父亲的位置
// key值大于父亲的值则在右侧
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
// 更新平衡因子
while (parent)// 最坏情况为空结束循环
{
// 插入父亲的左边,父亲的平衡因子--
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
// 插入父亲的右边,父亲的平衡因子++
else
{
parent->_bf++;
}
// 判断父亲的平衡因子的情况
// 平衡因子为0,树高度没变,不再更新
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
// 父亲的子树高度变了,需要继续更新平衡因子
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
// 父亲所在的子树高度不平衡,需要旋转处理
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 右单旋
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
// 左单旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
// 右左单旋 右高 左高
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
// 左右单旋 左高 右高
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
break;// 跳出循环,旋转之后一定平衡
}
// 理论上不可能出现该情况
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
// 右单旋 左边较高
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 更新parent
parent->_left = subLR;
// subLR不为空则更新父亲
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;//xxx
// 提前存parent的父亲
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
// parent为根节点
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
// parent为ppNode的左结点
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
// 更新平衡因子
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
// 左单旋 右边较高
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
// 更新parent
parent->_right = subRL;
// subRL不为空
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
// 提前存parent的父结点
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
// parent为根节点
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
// 左
if (parent == ppNode->_right)
{
ppNode->_right = subR;
}
else
{
ppNode->_left = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
// 平衡因子
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;//决定最终平衡因子的情况
// 先对右孩子右单旋
RotateR(parent->_right);
// 再对自己左单旋
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
// 左右单旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
// 先对左孩子左单旋
RotateL(parent->_left);
// 再对parent右单旋
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
int Height()
{
return _Height(_root);
}
int Size()
{
return _Size(_root);
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
// 较高树的高度+1
return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
}
int _Size(Node* root)
{
return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 不平衡能直接返回结果
if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
return false;
// 顺便检查一下平衡因子是否正确
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << endl;
return false;
}
return _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};