完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
例子：
背包可容纳重量 W = 6；
| 物品 | 重量w | 价值v |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 2 | 4 | 1 |
| 3 | 3 | 5 |
| 4 | 1 | 2 |
| 5 | 4 | 3 |
| 二维数组 |
cpp
for (int i = 1; i < N + 1; i++) {
for (int j = 0; j < W + 1; j++) {
if (j < weight[i-1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
//第 i 个物品放入，剩余背包容量为 j - weight[i - 1]；总价值为前 `i` 件物品中放入背包中的价值 + 第 i 件物品的价值；
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
}
}
}| - | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 | 9 |
| 2 | 0 | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 | 9 |
| 3 | 0 | 0 | 3 | 5 | 6 | 8 | 10 |
| 4 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 5 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
一维数组
cpp
for (int i = 1; i < N + 1; i++) { // i 从 1 开始的，所以物品对应下标后面是 i - 1
for (int j = weight[i - 1]; j < W + 1; j++) { // 正序，完全背包，物品可以多次放入
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
}
}52. 携带研究材料
卡码网 52. 携带研究材料
题目描述 小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。
小明的行李箱所能承担的总重量为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。
输入描述 第一行包含两个整数，N，V，分别表示研究材料的种类和行李空间接下来包含 N 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值
输出描述 输出一个整数，表示最大价值。
输入示例 4 5 1 2 2 4 3 4 4 5
输出示例 10
提示信息 第一种材料选择五次，可以达到最大值。
数据范围 ：1 <= N <= 10000;
1 <= V <= 10000;
1 <= wi, vi <= 10^9.
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int package(int& m, int& n, vector<vector<int>>& stuff) {
vector<int> dp(n + 1);
for (int i = 1; i < m + 1; i++) {
for (int j = stuff[i - 1][0]; j < n + 1; j++) { // 正序，完全背包，物品可以多次放入
dp[j] = max(dp[j], dp[j - stuff[i - 1][0]] + stuff[i - 1][1]);
}
}
return dp[n];
}
int main() {
int m; // 材料种类
int n; // 行李空间
cin >> m >> n;
vector<vector<int>> stuff(m, vector<int>(2));
for (int i = 0; i < m; ++i) {
cin >> stuff[i][0] >> stuff[i][1];
}
int res = package(m, n, stuff);
cout << res << endl;
return 0;
}518. 零钱兑换 II
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
给定背包容量，装满背包有多少种方法；每件物品有无限个；
cpp
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i < coins.size() + 1; i++) {
for (int j = coins[i - 1]; j < amount + 1; j++) {
dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i - 1]];
}
}
return dp[amount];
}
};377. 组合总和 Ⅳ
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。 题目数据保证答案符合 32 位整数范围。 顺序不同的序列被视作不同的组合。
给定背包容量j，装满背包有多少种不同的排列 dp[j]；每件物品有无限个；
cpp
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> dp(target + 1);
dp[0] = 1;
for (int j = 0; j < target + 1; j++) {/ 遍历背包
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { // 遍历物品 // 终于把我从二维数组dp继承过来的 i = 1 给改了
if(j >= nums[i] && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) { // 用例有溢出
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
}
return dp[target];
}
};如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
70. 爬楼梯 （进阶）
卡码网：57. 爬楼梯
题目描述 假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
输入描述 输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m 输出描述 输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
输入示例 3 2
输出示例 3
提示信息数据范围： 1 <= m < n <= 32;
当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。
此时你有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int climbStairs(int n, int m) {
// 背包容量为 n + 1;
// 物品为1, 2, 3, ... ,m
// 给定背包容量，装满背包有多少种不同的**排列**；每件物品有无限个；
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = 1;
for (int j = 0; j < n + 1; j++) { // 遍历背包
for (int i = 1; i <= m; i++) { // 遍历物品
if(j >= i) {
dp[j] += dp[j - i];
}
}
}
return dp[n];
}
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
cout << climbStairs(n, m) << endl;
return 0;
}