二值化------全局阈值方法
图像二值化（Image Binarization）是指将像素点的灰度值设为0或255，使图像呈现明显的黑白效果。二值化一方面减少了数据维度，另一方面通过排除原图中噪声带来的干扰，可以凸显有效区域的轮廓结构。OCR效果很大程度上取决于该步骤，高质量的二值图像可以显著提升识别的准确率。目前，二值化的方法主要分为全局阈值方法（Global Binarization）、局部阈值方法（Local Binarization）、基于深度学习的方法和其他方法。
固定阈值方法
该方法对输入图像中的所有像素点统一使用同一个固定阈值。其算法如下：
g ( x , y ) = { 255 , 若 f ( x , y ) ≥ T 0 , 否则 g(x,y)=\begin{cases} 255, & 若f(x,y)\geq T \\ 0, & 否则 \end{cases} g(x,y)={255,0,若f(x,y)≥T否则
- T T T为全局阈值
不同的阈值 T T T会产生不同的二值化效果。对于不同的输入图像，最佳的阈值 T T T也不一样，这也是固定阈值方法的主要缺陷。
于是，解决这一缺陷的相应算法也随之而出现；下面的几种方法均采用了根据输入图像计算最佳阈值的思想。
Otsu算法
Ostu算法[1](#1)又称最大类间方差法，由日本学者Nobuyuki Ostu于1979年提出，是一种在自适应的阈值确定方法。
Ostu算法将输入图像分为 L L L个灰度级， n i n_i ni表示灰度级为 i i i的像素个数，则像素总数 N = n 1 + n 2 + ⋯ + n L N=n_1+n_2+ \cdots +n_L N=n1+n2+⋯+nL。为了简化讨论，这里使用归一化的灰度直方图，并将其视为输入图像的概率分布：
p i = n i / N , p i > 0 , ∑ i = 1 L p i = 1 p_i=n_i/N, p_i>0, \sum_{i=1}^{L}p_i=1 pi=ni/N,pi>0,i=1∑Lpi=1
现假设在第 k k k个灰度级设置阈值，将图像分为 C 0 C_0 C0和 C 1 C_1 C1（背景和目标物体）， C 0 C_0 C0表示灰度级为 1 , ⋯ , k 1, \\cdots, k 1,⋯,k的像素点， C 1 C_1 C1表示灰度级为 k + 1 , ⋯ , L k+1, \\cdots, L k+1,⋯,L的像素点，那么两类出现的概率以及类内灰度级的均值分别为：
ω 0 = P r ( C 0 ) = ∑ i = 1 k p i = ω ( k ) ω 1 = P r ( C 1 ) = ∑ i = k + 1 L p i = 1 − ω ( k ) μ 0 = ∑ i = 1 k i P r ( i ∣ C 0 ) = ∑ i = 1 k i p i / ω 0 = μ ( k ) / ω ( k ) μ 1 = ∑ i = k + 1 L i P r ( i ∣ C 1 ) = ∑ i = k + 1 k i p i / ω 1 = μ T − μ ( k ) 1 − ω ( k ) \omega_0=Pr(C_0)=\sum_{i=1}^{k}p_i=\omega(k) \\ \omega_1=Pr(C_1)=\sum_{i=k+1}^{L}p_i=1-\omega(k) \\ \mu_0=\sum_{i=1}^{k}i Pr(i|C_0)=\sum_{i=1}^{k}ip_i/\omega_0=\mu(k)/\omega(k) \\ \mu_1=\sum_{i=k+1}^{L}i Pr(i|C_1)=\sum_{i=k+1}^{k}ip_i/\omega_1=\frac{\mu_T-\mu(k)}{1-\omega(k)} ω0=Pr(C0)=i=1∑kpi=ω(k)ω1=Pr(C1)=i=k+1∑Lpi=1−ω(k)μ0=i=1∑kiPr(i∣C0)=i=1∑kipi/ω0=μ(k)/ω(k)μ1=i=k+1∑LiPr(i∣C1)=i=k+1∑kipi/ω1=1−ω(k)μT−μ(k)
- ω ( k ) \omega(k) ω(k)和 μ ( k ) \mu(k) μ(k)分别为灰度级从1到 k k k的累计出现概率和平均灰度级;
- μ T \mu_T μT为整张图像的平均灰度级。
容易证得，对于任意 k k k值均有：
ω 0 μ 0 + ω 1 μ 1 = μ T , ω 0 + ω 1 = 1 \omega_0\mu_0+\omega_1\mu_1=\mu_T, \omega_0+\omega_1=1 ω0μ0+ω1μ1=μT,ω0+ω1=1
这两类得类内方差也可以算得：
σ 0 2 = ∑ i = 1 k ( i − μ 0 ) 2 P r ( i ∣ C 0 ) = ∑ i = 1 k ( i − μ 0 ) 2 p i / ω 0 σ 1 2 = ∑ i = k + 1 L ( i − μ 1 ) 2 P r ( i ∣ C 0 ) = ∑ i = k + 1 L ( i − μ 1 ) 2 p i / ω 1 \sigma_0^2=\sum_{i=1}^{k}(i-\mu_0)^2Pr(i|C_0)=\sum_{i=1}^{k}(i-\mu_0)^2p_i/\omega_0 \\ \sigma_1^2=\sum_{i=k+1}^{L}(i-\mu_1)^2Pr(i|C_0)=\sum_{i=k+1}^{L}(i-\mu_1)^2p_i/\omega_1 σ02=i=1∑k(i−μ0)2Pr(i∣C0)=i=1∑k(i−μ0)2pi/ω0σ12=i=k+1∑L(i−μ1)2Pr(i∣C0)=i=k+1∑L(i−μ1)2pi/ω1
为了评价阈值 k k k的好坏，需要引入判别式：
λ = σ B 2 / σ W 2 , κ = σ T 2 / σ W 2 , η = σ B 2 / σ T 2 ( 1 ) \lambda=\sigma_B^2/\sigma_W^2, \kappa=\sigma_T^2/\sigma_W^2, \eta=\sigma_B^2/\sigma_T^2 \qquad (1) λ=σB2/σW2,κ=σT2/σW2,η=σB2/σT2(1)
其中
- σ W 2 = ω 0 σ 0 2 + ω 1 σ 1 2 \sigma_W^2=\omega_0\sigma_0^2+\omega_1\sigma_1^2 σW2=ω0σ02+ω1σ12，即类内方差
- σ B 2 = ω 0 ( μ 0 − μ T ) 2 + ω ( μ 1 − μ T ) 2 = ω 0 ω 1 ( μ 1 − μ 0 ) 2 \sigma_B^2=\omega_0(\mu_0-\mu_T)^2+\omega(\mu_1-\mu_T)^2=\omega_0\omega_1(\mu_1-\mu_0)^2 σB2=ω0(μ0−μT)2+ω(μ1−μT)2=ω0ω1(μ1−μ0)2，即类间方差
- σ T 2 = ∑ i = 1 L ( i − μ T ) 2 p i \sigma_T^2=\sum_{i=1}^{L}(i-\mu_T)^2p_i σT2=∑i=1L(i−μT)2pi，即灰度级的总方差
由于 σ W 2 + σ B 2 = σ T 2 \sigma_W^2+\sigma_B^2=\sigma_T^2 σW2+σB2=σT2始终成立，而对同一张图片来说 σ T 2 \sigma_T^2 σT2是确定的，所以 σ W 2 \sigma_W^2 σW2和 σ B 2 \sigma_B^2 σB2，一个越大，另一个就会越小。这样的话，(1)式中的三个目标值 λ , κ , η \lambda, \kappa, \eta λ,κ,η就总是同向运动的。
但是从计算简单程度上来说，因为 σ T 2 \sigma_T^2 σT2与 k k k无关，且 σ B 2 \sigma_B^2 σB2只涉及均值的运算。因此， η \eta η是判别 k k k取值好坏的最简单的衡量标准：
η = σ B 2 ( k ) / σ T 2 \eta = \sigma_B^2(k)/\sigma_T^2 η=σB2(k)/σT2
因此，最佳的 k k k值选择（ k ∗ k^* k∗）满足：
σ B 2 ( k ∗ ) = max 1 ≤ k ≤ L σ B 2 ( k ) \sigma_B^2(k^*)=\max_{1\leq k \leq L}\sigma_B^2(k) σB2(k∗)=1≤k≤LmaxσB2(k)
在OpenCV中的实现
固定阈值
固定阈值可以在OpenCV中用adptiveThreshold()函数来实现，其函数原型如下：
cpp
void cv::adptiveThreshold( InputArray src,
OutputArray dst,
double maxValue,
int adaptiveMethod,
int thresholdType,
int blockSize,
double C)将其中的第5个参数thresholdType指定为THRESH_BINARY就是固定阈值方法。
Otsu算法
Otsu算法可以在OpenCV中用threshold()函数来实现，其函数原型如下：
cpp
double cv::threshold( InputArray src,
OutputArray dst,
double thresh,
double maxval,
int type)将其中的第5个参数type指定为THRESH_OTSU就是Otsu算法。
这个函数也可以用来通过将该参数指定为THRESH_BINARY来使用固定阈值的方法。
以下是Otsu算法的一个结果示例(上：原图，中：直方图，下：二值化后的结果）：
直方图中的红色竖线为Otsu算法找出的最佳阈值。
- Otsu N. A Threshold Selection Method From Gray-Level Histogram. IEEE Transactions On Systems Man Cybernetics , 1979, 9(1): 62-66. ↩︎