【二分查找】--- 进阶题目赏析

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本篇博客我们继续来了解一些有关二分查找算法的进阶题目。

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🏠 寻找峰值

📌 题目内容

162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）

📌 题目解析

• 与山脉数组那道题不同的是，本题数组内存在多个峰值。
• 注意本题一个规定，即num[-1] = num[n] = 负无穷，数组边界都是最小负无穷。

📌算法原理

📒 思路一：暴力解法

有三种情况下，某个数是峰值，我们暴力解法只需要遍历一遍数组进行分类情况即可，但是时间复杂度是O(N)不符合题意。

📒 思路二：二分查找

我们发现：

1. 当arr[i] > arr[i+1]时，此时左边区域一定存在峰值，因此我们要向左缩小范围。

2.当arr[i] < arr[i+1]时，此时右边区域一定存在峰值，因此我们要向右缩小范围。

3.由于峰值位置的不确定我们需要寻找峰值，因此在寻找峰值的过程 中，我们发现了二段性 因此可以使用二分查找。

二分过程：

1. arr[i] > arr[i+1] ---> right = mid , 此时mid处可能就是峰值所以不能跳过mid。

2. arr[i] < arr[i+1] ---> left = mid +1 ,此时mid+1处才可能是峰值，因此可以跳过mid。

参考代码：

class Solution 
{

public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) 
    {
         int left  = 0;
         int right = nums.size()-1;
    
         while(left < right)
         {
           int mid = left + (right - left ) / 2;
           if( nums[mid] <  nums[mid+1])
           {
              left = mid + 1 ;
           }
           else
           right = mid;
         }
          return left;
    }

};

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🏠 寻找旋转排序数组中的最小值

📌 题目内容

153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）

📌 题目内容

• 注意题目数组中的数字各不相同。

📌算法原理

📒 思路一：暴力解法

暴力解法思路很简单，可以定义一个min变量，遍历一遍数组，遇到比他小的就更新min,时间复杂度是O(N),并不符合题目要求。

📒 思路二：二分查找

题目要我们找旋转排序数组中的最小值，这个位置是"确定"的，整个数组的大小变化趋势如上图。以D为参考点，我们发现：

1. 最小值所在位置的左边，都是严格大于等于数组最后一个数的。

2.最小值所在位置的右边，都是小于等于数组最后一个数的。

3.本题要我们求的很明显地划分了两段区间，体现了二段性 ，我们要做的是思考如果mid落在划分的两段区间内，我们如何靠近目标。

二分流程：

1. 当nums[mid] > nums[n-1]时，说明mid处于AB段，此时我们需要向右缩小范围，left = mid+1.

2.当nums[mid] <= nums[n-1]时，说明mid位于CD段，此时我们需要向左缩小范围，由于目标在CD段上，因此更新right时我们不能跳过mid因为mid可能就是最小值。

参考代码：

class Solution {
public:
    
    int findMin(vector<int>& nums) 
    {
       int  left = 0;
       int right = nums.size() - 1;
       while(left < right)
       {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if(nums[mid] < nums[right])right = mid;
          else left = mid+1;
       }
         
          return nums[left];  
    }

};

思考：我们划分两端区间是以D为参考点，那么我们是否能以A为参考点呢？

1.A~B段是大于等于nums[0](A点)的，而C~D段是严格小于nums[0]的。

2.此时二分流程：

A - B : nums[i]>=nums[0] --> left= mid +1;

C - D : nums[i] < nums[0] --> right = mid;

3.当旋转数组旋转到原来升序时：

此时A点就是最小值，区间不断向右，此时就会丢掉最小值，因此对于这种边界情况我们需要特殊处理。

class Solution {
public:
    
    int findMin(vector<int>& nums) 
    {
       int  left = 0;
       int right = nums.size() - 1;
       if(nums[0] < nums[right])
          return nums[0];
       int x = nums[0]; //以A为参照
       while(left < right)
       {
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if(nums[mid] >= x )left = mid + 1;
          else right = mid;
       }
          return nums[left];  
    }

};

🏠 0~n-1中缺失的数字

📌 题目内容

LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）

📌 题目内容

• 注意：对于[0,1,2,3,4]这样的数组，此时缺失的数字应该为5.

📌算法原理

📒 思路一：哈希表

由于缺了一个数字，因此总的人数为数组元素个数+1，此时我们先遍历一遍数组进行映射，再从0-N遍历，没有映射的就是缺失的数字。

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& records) 
    {
        unordered_map<int,int> mp;
        for(const auto& e : records)
        {
             mp[e]++;
        }
        int reasult = 0;
        int n = records.size() + 1; 
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
        {
            if(mp[i] == 0)
            {
                reasult = i;
                break;
            }
        }
        return reasult;
    }
};

📒 思路二：直接遍历找结果

由于学号从0开始，因此数组中每个数都应该与下标相同，由于缺失了一个数，可能导致它的下一个数占它的位置，也可能他就是最后一个数。

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& records) 
    {
        bool flag = false;
        int i = 0;
        for( i = 0 ; i < records.size();i++)
        {
             if(i != records[i])
             {
                 flag = true;
                    break;
             }
        }
        return i;
    }
};

📒 思路三：位运算

既然知道应到同学的人数n，又根据按位异或a^a = 0 的性质，我们可以用ret遍历一遍数组进行异或，再从0-N异或，最后ret就是缺失的数字。

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& records) 
    {
       int n =  records.size();
       int sum = 0;
       for(int i = 0 ;i <= n ;i++)
       {
            sum ^= i;
       }

       for(int i = 0; i < records.size();i++)
       {
         sum ^= records[i];
       }
       return sum;
    }
};

📒 思路四：高斯求和公式

由于我们知道了应到学生人数，因此我们可以用等差数列求原本应该的学号之和，再遍历数组减去，最后得到的就是缺失的数字。

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& records) 
    {
       int n =  records.size() + 1;
       int sum = 0 + (n*(n-1)) / 2;
       cout << sum <<endl;
       for(int i = 0; i < records.size();i++)
       {
          sum -= records[i];
       }
       return sum;
    }
}；

📒 思路五：二分查找

前面的思路都很简单，但时间复杂度都是O(N)。仔细观察我们发现因为缺失了数字，会造成二段性。

我们发现，由于缺失了一个数字造成了二段性：

1. 左边一段区间的值都与下标相同，而右边一段区间的值与下标不匹配，因此我们需要去靠近第一个不与下标匹配的值。此时这个值的下标就是缺失的数字。

2.nums[mid] = mid时，说明mid在左边，此时需要向右缩小范围。

3.nums[mid] ≠ mid时，说明mid在右边，此时mid可能就是我们要找的，因此不能跳过mid.

4.需要注意的是对于类似[0,1,2,3,4]这样的情况，最后left==right时，我们需要返回left+1.

参考代码：

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& records) 
    {
        int left = 0;
        int right = records.size() - 1;
        while(left < right)
        {
           int mid = left + (right - left ) / 2;
           if(records[mid] == mid)
                 left = mid + 1;
           else
             right = mid;       
        }
        if(records[left] != left) return left;
        return left + 1; 
    }
};

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总结：

1. 当题目很明确要求的目标能划分二段性时，我们需要考虑的是在划分区间内怎么接近目标。

2.当不是很明确二段性时，我们要考虑的是在找目标的过程中能否发现二段性。