拟合与插值|线性最小二乘拟合|非线性最小二乘拟合|一维插值|二维插值

挖掘数据背后的规律是数学建模的重要任务，拟合与插值是常用的分析方法

掌握拟合与插值的基本概念和方法
熟悉Matlab相关程序实现
能够从数据中挖掘数学规律

拟合问题的基本提法

拟合问题的概念

已知一组数据(以二维为例)，即平面上n个点 ( x i , y i ) , i = 1 , 2 , ... , n (x_{i},y_{i}),i =1,2,\dots,n (xi,yi),i=1,2,...,n，寻求一个函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，使得 f ( x ) f(x) f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近

∑ i = 1 n ( δ i ) 2 → m i n \sum_{i=1}^{n}(\delta_{i})^{2}\to min i=1∑n(δi)2→min

确定 f ( x ) f(x) f(x)表达式的形式
估计 f ( x ) f(x) f(x)中待定系数

拟合要解决的两个基本问题

确定 f ( x ) f(x) f(x)表达式的形式

数据可视化，直观判断 f ( x ) f(x) f(x)的形式
通过机理分析来确定 f ( x ) f(x) f(x)的形式

饮酒驾车中酒精浓度拟合问题
y = k e − a t y = ke^{-at} y=ke−at

SARS的传播规律拟合问题
i ( t ) = 1 1 + ( 1 i 0 − 1 ) e − λ t i(t)=\frac{1}{1+\left( \frac{1}{i_{0}}-1 \right)e^{-\lambda t}} i(t)=1+(i01−1)e−λt1

估计 f ( x ) f(x) f(x)中的待定参数

根据 f ( x ) f(x) f(x)表达式中，待定参数具体形式的不同，一般有两种方法

线性最小二乘法：适用于 f ( x ) f(x) f(x)中待定参数为线性形式

非线性最小二乘法：适用于 f ( x ) f(x) f(x)中待定参数为非线性形式

线性最小二乘拟合及其实现

线性最小二乘拟合

基本思路

选定一组基本函数 r 1 ( x ) , r 2 ( x ) , ... , r m ( x ) ; m < n r_{1}(x),r_{2}(x),\dots,r_{m}(x);m<n r1(x),r2(x),...,rm(x);m<n，确定 f ( x ) f(x) f(x)表达式
f ( x ) = a 1 r 1 ( x ) + a 2 r 2 ( x ) + ⋯ + a m r m ( x ) f(x)=a_{1}r_{1}(x)+a_{2}r_{2}(x)+\dots+a_{m}r_{m}(x) f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+⋯+amrm(x)
其中， a 1 , a 2 , ... , a m a_{1},a_{2},\dots,a_{m} a1,a2,...,am为待定参数
按照最小二乘原则确定待定系数
求 a 1 , a 2 , ... , a m a_{1},a_{2},\dots,a_{m} a1,a2,...,am使n个点 ( x i , y i ) (x_{i},y_{i}) (xi,yi)与曲线 f ( x ) f(x) f(x)的距离平方和 J ( a 1 , a 2 , ... , a m ) J(a_{1},a_{2},\dots,a_{m}) J(a1,a2,...,am)最小
m i n a 1 , a 2 , ... , a m J ( a 1 , a 2 , ... , a m ) = ∑ i = 1 n ( δ i ) 2 min_{a_{1},a_{2},\dots,a_{m}}J(a_{1},a_{2},\dots,a_{m})=\sum_{i=1}^{n}(\delta_{i})^{2} mina1,a2,...,amJ(a1,a2,...,am)=i=1∑n(δi)2
= ∑ i = 1 n ( y i − a 1 r 1 x i − a 1 r 1 x i − ⋯ − a m r m x i ) 2 =\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-a_{1}r_{1}x_{i}-a_{1}r_{1}x_{i}-\dots-a_{m}r_{m}x_{i})^{2} =i=1∑n(yi−a1r1xi−a1r1xi−⋯−amrmxi)2

优化问题的求解

超定方程组，方程个数大于未知量个数的方程组
{ r 11 a 1 + r 12 a 2 + ⋯ + r 1 m a m = y 1 r 21 a 1 + r 22 a 2 + ⋯ + r 2 m a m = y 2 ... ... r n 1 a 1 + r n 2 a 2 + ⋯ + r n m a m = y n \left\{\begin{matrix} r_{11}a_{1}+r_{12}a_{2}+\dots+r_{1m}a_{m}=y_{1} \\ r_{21}a_{1}+r_{22}a_{2}+\dots+r_{2m}a_{m}=y_{2} \\ \dots\dots \\ r_{n1}a_{1}+r_{n2}a_{2}+\dots+r_{nm}a_{m}=y_{n} \end{matrix}\right. ⎩ ⎨ ⎧r11a1+r12a2+⋯+r1mam=y1r21a1+r22a2+⋯+r2mam=y2......rn1a1+rn2a2+⋯+rnmam=yn
R = ( r 11 r 12 ... r 1 m r 21 r 22 ... r 2 m ... ... ... ... r n 1 r n 2 ... r n m ) R=\begin{pmatrix} r_{11}&&r_{12}&&\dots&&r_{1m} \\ r_{21}&&r_{22}&&\dots&&r_{2m} \\ \dots&&\dots&&\dots&&\dots \\ r_{n1}&&r_{n2}&&\dots&&r_{nm} \end{pmatrix} R= r11r21...rn1r12r22...rn2............r1mr2m...rnm
a = ( a 1 a 2 ... a m ) y = ( y 1 y 2 ... y n ) a=\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \dots \\ a_{m} \end{pmatrix}\qquad y=\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \dots \\ y_{n} \end{pmatrix} a= a1a2...am y= y1y2...yn

超定方程组可改写为： R a = y Ra=y Ra=y

一般地，超定方程组是不存在解的矛盾方程组，不存在准确解

需要在最小二乘的意义下求解
∑ i = 1 n ( δ i ) 2 = ∑ i = 1 n ( y i − a 1 r 1 x i − a 1 r 1 x i − ⋯ − a m r m x i ) 2 \sum_{i=1}^{n}(\delta_{i})^{2}=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-a_{1}r_{1}x_{i}-a_{1}r_{1}x_{i}-\dots-a_{m}r_{m}x_{i})^{2} i=1∑n(δi)2=i=1∑n(yi−a1r1xi−a1r1xi−⋯−amrmxi)2

最小化的解 a 1 , a 2 , ... , a m a_{1},a_{2},\dots,a_{m} a1,a2,...,am，称为超定方程组的线性最小二乘解

线性最小二乘的求解

当 R T R R^{T}R RTR可逆时，超定方程组 R a = y Ra=y Ra=y存在最小二乘解，且为如下正规方程组的解
R T R a = R T y R^{T}Ra=R^{T}y RTRa=RTy
a = ( R T R ) − 1 R T y a=(R^{T}R)^{-1}R^{T}y a=(RTR)−1RTy

线性最小二乘的Matlab实现

对超定方程组 R n × m a m × 1 = y n × 1 R_{n\times m}a_{m\times_{1}}=y_{n\times_{1}} Rn×mam×1=yn×1

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a = R \ y

即可得到相应的最小二乘解

例

求二次多项式
f ( x ) = a 1 x 2 + a 2 x + a 3 f(x)=a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3} f(x)=a1x2+a2x+a3

中的系数 a 1 , a 2 , a 3 a_{1},a_{2},a_{3} a1,a2,a3
( x 1 2 x 1 1 x 2 2 x 2 1 ... ... ... x 11 2 x 11 1 ) = ( a 1 a 2 a 3 ) = ( y 1 y 2 ... y 11 ) \begin{pmatrix} x_{1}^{2} &&x_{1}&&1\\ x_{2}^{2} &&x_{2}&&1\\ \dots &&\dots&&\dots\\ x_{11}^{2}&&x_{11}&&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \dots \\ y_{11} \end{pmatrix} x12x22...x112x1x2...x1111...1 = a1a2a3 = y1y2...y11

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x = 0 : 0.1 : 1;
y = [-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.58, 9.48, 9.30, 11.2];
R = [(x.^2)',x',ones(11,1)];
A=R\y'

计算结果

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A = [-9.8108, 20.1293, -0.0317]

f ( x ) = − 9.8108 x 2 + 20.1293 x − 0.0317 f(x)=-9.8108x^{2}+20.1293x-0.0317 f(x)=−9.8108x2+20.1293x−0.0317

非线性最小二乘拟合及其实现

基本思路

确定问题的函数表达式的形式
y = f ( a 1 , a 2 , ... , a m ; x ) y=f(a_{1},a_{2},\dots,a_{m};x) y=f(a1,a2,...,am;x)
其中 a 1 , a 2 , ... , a m a_{1},a_{2},\dots,a_{m} a1,a2,...,am为待定参数
按照最小二乘原则确定待定参数
在最小二乘意义下，求使得
m i n a 1 , a 2 , ... , a m J ( a 1 , a 2 , ... , a m ) = ∑ i = 1 n ( δ i ) 2 min_{a_{1},a_{2},\dots,a_{m}}J(a_{1},a_{2},\dots,a_{m})=\sum_{i=1}^{n}(\delta_{i})^{2} mina1,a2,...,amJ(a1,a2,...,am)=i=1∑n(δi)2
= ∑ i = 1 n ( y i − f ( a 1 , a 2 , ... , a m ; x i ) ) 2 =\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-f(a_{1},a_{2},\dots,a_{m};x_{i}))^{2} =i=1∑n(yi−f(a1,a2,...,am;xi))2
最小化的解 a 1 ^ , a 2 ^ , ... , a m ^ \hat{a_{1}},\hat{a_{2}},\dots,\hat{a_{m}} a1^,a2^,...,am^，称为待定系数 a 1 , a 2 , ... , a m a_{1},a_{2},\dots,a_{m} a1,a2,...,am的非线性最小二乘解

非线性最小二乘拟合的Matlab实现

两个非线性最小二乘拟合函数

lsqcurvefit
lsqnonlin

非线性最小二乘求解命令lsqcurvefit

已知数据点
x d a t a = ( x d a t a 1 , x d a t a 2 , ... , x d a t a n ) T xdata=(xdata_{1},xdata_{2},\dots,xdata_{n})^{T} xdata=(xdata1,xdata2,...,xdatan)T
y d a t a = ( y d a t a 1 , y d a t a 2 , ... , y d a t a n ) T ydata=(ydata_{1},ydata_{2},\dots,ydata_{n})^{T} ydata=(ydata1,ydata2,...,ydatan)T

lsqcurvefit通过求解如下最小二乘问题，得到参数向量x的估计
m i n ∣ ∣ y d a t a − F ( x , x d a t a ) ∣ ∣ 2 2 = m i n x ∑ i ( y d a t a i − F ( x , x d a t a i ) 2 min| |ydata-F(x,xdata)| |{2}^{2}=min{x}\sum_{i}(ydata_{i}-F(x,xdata_{i})^{2} min∣∣ydata−F(x,xdata)∣∣22=minxi∑(ydatai−F(x,xdatai)2

其中， F ( x , x d a t a ) F(x,xdata) F(x,xdata)表示预测值向量
F ( x , x d a t a ) = ( F ( x , x d a t a 1 ) F ( x , x d a t a 2 ) ... F ( x , x d a t a n ) ) F(x, xdata)=\begin{pmatrix} F(x,xdata_{1}) \\ F(x,xdata_{2}) \\ \dots \\ F(x,xdata_{n}) \end{pmatrix} F(x,xdata)= F(x,xdata1)F(x,xdata2)...F(x,xdatan)

基本格式

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x = lsqcurvefit('fun', x0, xdata, ydata);

fun是预先定义的函数，实现待拟合非线性函数 F ( x , x d a t a ) F(x,xdata) F(x,xdata)
x0给定参数初始值(lsqcurvefit求解非线性优化问题的初始迭代点)
xdata和ydata是样本数据的输入和输出向量(或矩阵)
x为未知参数的非线性最小二乘估计

例

F ( x , x d a t a ) = ( F ( x , x d a t a 1 ) F ( x , x d a t a 2 ) ... F ( x , x d a t a n ) ) F(x, xdata)=\begin{pmatrix} F(x,xdata_{1}) \\ F(x,xdata_{2}) \\ \dots \\ F(x,xdata_{n}) \end{pmatrix} F(x,xdata)= F(x,xdata1)F(x,xdata2)...F(x,xdatan)

x，三个待定参数组成的向量
xdata，所有的自变量的取值组成的向量
输出，是待拟合的函数在每一个样本点处对应的拟合值
= ( a + b e − 0.02 k t 1 a + b e − 0.02 k t 2 ... a + b e − 0.02 k t 11 ) =\begin{pmatrix} a+be^{-0.02kt_{1}} \\ a+be^{-0.02kt_{2}} \\ \dots \\ a+be^{-0.02kt_{11}} \end{pmatrix} = a+be−0.02kt1a+be−0.02kt2...a+be−0.02kt11

curvefun.m 复制代码

function f = curvefun(x, tdata)
f = x(1) + x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k

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%主程序命令
tdata = 100:100:1000
ydata = 1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];
x0 = [0.1; 0.1; 0.1];
x = lsqcurvefit('curvefun', x0, xdata, ydata)
y_pred = curvefun(x, tdata)
plot(tdata, ydata, 'bo', tdata, y_pred, 'r.:') %可视化预测结果

运算结果

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x = 0.0070  -0.0030  0.1012
y_pred = 0.0045  0.0050  0.0054  0.0057  0.0059  0.0061  0.0063  0.0064  0.0065  0.0066

结论

a = 0.0070, b=-0.0030, k=1012
f ( t ) = 0.0070 − 0.0030 e − 0.02 × 0.1012 × t f(t)=0.0070-0.0030e^{-0.02\times 0.1012\times t} f(t)=0.0070−0.0030e−0.02×0.1012×t

一维插值及其实现

一维插值的定义

已知n+1个节点 ( x i , y i ) ； i = 0 , 1 , ... , n (x_{i},y_{i})；i= 0,1,\dots,n (xi,yi)；i=0,1,...,n，其中 x i x_{i} xi互不相同，设
a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b a = x_{0}<x_{1}<\dots<x_{n}=b a=x0<x1<⋯<xn=b

构建一个函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)通过全部节点，即
f ( x i ) = y i ; i = 0 , 1 , ... , n f(x_{i})=y_{i};\quad i=0,1,\dots,n f(xi)=yi;i=0,1,...,n

用函数 f ( x ) f(x) f(x)计算任一被插值点 x ∗ x^{*} x∗处的插值，即
y ∗ = f ( x ∗ ) y^{*}=f(x^{*}) y∗=f(x∗)

拉格朗日插值

已知n+1个节点 ( x i , y i ) ； i = 0 , 1 , ... , n (x_{i},y_{i})；i= 0,1,\dots,n (xi,yi)；i=0,1,...,n，构造一个n次多项式 P n ( x ) P_{n}(x) Pn(x)，满足
P n ( x i ) = y i ; i = 1 , 2 , ... , n P_{n}(x_{i})=y_{i};\quad i=1,2,\dots,n Pn(xi)=yi;i=1,2,...,n

被称为拉格朗日插值多项式，构造方法如下
P n ( x ) = ∑ i = 1 n L i ( x ) y i P_{n}(x)=\sum_{i=1}^{n}L_{i}(x)y_{i} Pn(x)=i=1∑nLi(x)yi

其中， L i ( x ) L_{i}(x) Li(x)为n次多项式
L i ( x ) = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ... ( x − x i − 1 ) ( x − x i + 1 ) ... ( x − x n ) ( x i − x 0 ) ( x i − x 1 ) ... ( x i − x i − 1 ) ( x i − x i + 1 ) ... ( x i − x n ) L_{i}(x)=\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})\dots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})\dots(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\dots(x_{i}-x_{n})} Li(x)=(xi−x0)(xi−x1)...(xi−xi−1)(xi−xi+1)...(xi−xn)(x−x0)(x−x1)...(x−xi−1)(x−xi+1)...(x−xn)

称为拉格朗日插值基函数
L i ( x j ) = { 0 , i ≠ j 1 , i = j L_{i}(x_{j})= \left\{\begin{matrix} 0,\ i\ne j \\ 1,\ i=j \end{matrix}\right. Li(xj)={0, i=j1, i=j
P n ( x j ) = y j j = 0 , 1 , ... , n P_{n}(x_{j})=y_{j}\quad j=0,1,\dots,n Pn(xj)=yjj=0,1,...,n

两点一次线性插值多项式
P 1 ( x ) = ( x − x 1 ) ( x 0 − x 1 ) y 0 + ( x − x 0 ) ( x 1 − x 0 ) y 1 P_{1}(x)=\frac{(x-x_{1})}{(x_{0}-x_{1})}y_{0}+\frac{(x-x_{0})}{(x_{1}-x_{0})}y_{1} P1(x)=(x0−x1)(x−x1)y0+(x1−x0)(x−x0)y1

三点二次抛物插值多项式
P 2 ( x ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) y 0 + ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) y 1 + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) y 2 P_{2}(x)=\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}y_{0}+\frac{(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}y_{1}+\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}y_{2} P2(x)=(x0−x1)(x0−x2)(x−x1)(x−x2)y0+(x1−x0)(x1−x2)(x−x0)(x−x2)y1+(x2−x0)(x2−x1)(x−x0)(x−x1)y2

有可能产生震荡现象

例

随着节点个数的增加，多项式阶数不断增大， P n ( x ) P_{n}(x) Pn(x)产生较大的震荡现象

分段线性插值

基本思想：构造一条一条的直线段进行插值计算
L n ( x ) = ∑ i = 1 n l i ( x ) y i L_{n}(x)=\sum_{i=1}^{n}l_{i}(x)y_{i} Ln(x)=i=1∑nli(x)yi

其中
l i ( x ) = { x − x i − 1 ( x i − x i − 1 ) , x i − 1 ≤ x < x i x − x i + 1 ( x i − x i + 1 ) , x i ≤ x < x i + 1 0 , o t h e r w i s e l_{i}(x)= \left\{\begin{matrix} \frac{x-x_{i-1}}{(x_{i}-x_{i-1})},\qquad x_{i-1}\le x<x_{i} \\ \frac{x-x_{i+1}}{(x_{i}-x_{i+1})},\qquad x_{i}\le x<x_{i+1} \\ 0,\qquad otherwise \end{matrix}\right. li(x)=⎩ ⎨ ⎧(xi−xi−1)x−xi−1,xi−1≤x<xi(xi−xi+1)x−xi+1,xi≤x<xi+10,otherwise

思路简单易实现
计算量小
不会产生震荡现象
光滑性不好

三次样条插值

基本思想

构造一段一段的三次多项式曲线进行插值计算
s i ( x ) = a i ( x ) 3 + b i ( x ) 2 + c i x + d i , i = 1 , 2 , ... , n s_{i}(x)=a_{i}(x)^{3}+b_{i}(x)^{2}+c_{i}x+d_{i},\ i=1,2,\dots,n si(x)=ai(x)3+bi(x)2+cix+di, i=1,2,...,n

三次样条插值函数
S ( x ) = { s i ( x ) , x ∈ $x i - 1 , x i$ ∣ i = 1 , 2 , ... , n } S(x)=\left \{ s_{i}(x),x\in $x_{i-1},x_{i}$ | i=1,2,\dots,n \right \} S(x)={si(x),x∈ $xi-1,xi$ ∣i=1,2,...,n}

利用如下三类条件

插值条件n+1
S ( x i ) = y i , i = 0 , 1 , 2 , ... , n S(x_{i})=y_{i},\ i=0,1,2,\dots,n S(xi)=yi, i=0,1,2,...,n
二阶光滑3n-3
S ( x ) ∈ C 2 $x 0 , x n$ S(x)\in C^{2} $x_{0},x_{n}$ S(x)∈C2 $x0,xn$
自然边界条件2
S ′ ′ ( x 0 ) = S ′ ′ ( x n ) = 0 S''(x_{0})=S''(x_{n})=0 S′′(x0)=S′′(xn)=0
可求得三次样条插值函数的所有待定系数

一维插值的Matlab实现

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yi = interp1(x, y, xi, 'method')

x，y，插值节点对应的坐标
xi，被插值节点的坐标
yi，与xi对应的插值结果
'method'，插值方法
nearest：最邻近插值
linear：分段线性插值
spline：三次样条插值
cubic：立方插值
缺省时：分段线性插值
x是单调的
xi不能够超过x的范围(内插)

例

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hours = 1:12;
temps =[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];
h= 1 : 0.1 : 12；
t_nearest = interp1(hours, temps, h, 'nearest');%邻近插值
t_linear = interp1(hours, temps, h, 'linear');%分段线性插值
t_spline = interp1(hours, temps, h, 'spline');%三次样条插值

hours，原始的插值节点，横坐标的取值向量
temps，因变量温度的取值
h，被插值节点对应的向量，每隔1/10小时产生一个时间点对应的等差数列

subplot(2,2,1), plot(hours, temps, 'bo')
subplot(2,2,2), plot(hours, temps, 'bo', h, t_nearest,'r:')%邻近插值
subplot(2,2,3), plot(hours, temps, 'bo', h, t_linear, 'r:')%线性插值
subplot(2,2,4), plot(hours, temps, 'bo', h, t_spline, 'r:')%三次样条插值

二维插值及其实现

二维插值定义

网格节点

已知mxn个节点
( x i , y i , z i j ) ; i = 1 , ... , m ; j = 1 , ... , n (x_{i},y_{i},z_{ij});\ i=1,\dots,m;j=1,\dots,n (xi,yi,zij); i=1,...,m;j=1,...,n

其中 x i , y i x_{i},y_{i} xi,yi互不相同，设
a = x 1 < x 2 < ⋯ < x m = b a = x_{1}<x_{2}<\dots<x_{m}=b a=x1<x2<⋯<xm=b
c = y 1 < y 2 < ⋯ < y n = d c=y_{1}<y_{2}<\dots<y_{n}=d c=y1<y2<⋯<yn=d

构造一个二元函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)，通过已知节点，即
f ( x i , y j ) = z i j ; i = 1 , ... , m ; j = 1 , ... , n f(x_{i},y_{j})=z_{ij};\ i=1,\dots,m;\ j=1,\dots,n f(xi,yj)=zij; i=1,...,m; j=1,...,n

并由此计算插值
z ∗ = f ( x ∗ , y ∗ ) z^{*}=f(x^{*},y^{*}) z∗=f(x∗,y∗)
散乱节点

已知n个节点
( x i , y i , z i ) ; i = 1 , ... , n (x_{i},y_{i},z_{i});\ i=1,\dots,n (xi,yi,zi); i=1,...,n

其中 x i , y i x_{i},y_{i} xi,yi互不相同

构造一个二元函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)，通过已知节点，即
f ( x i , y j ) = z i ; i = 1 , ... , n f(x_{i},y_{j})=z_{i};\ i=1,\dots,n f(xi,yj)=zi; i=1,...,n

并由此计算插值
z ∗ = f ( x ∗ , y ∗ ) z^{*}=f(x^{*},y^{*}) z∗=f(x∗,y∗)

二维插值方法

最邻近插值
基本思想
将与被插值点最邻近节点的函数值作为插值结果

思路直观，易理解
计算量小，易于实现
不连续

分片线性插值
基本思想
构造一片一片的空间三角平面进行插值计算

直观，易于实现
连续
光滑性不好

双线性插值
基本思想
构造一片一片的双线性空间二次曲面进行插值计算
双线性插值函数表达式为
f ( x , y ) = ( a x + b ) ( c y + d ) f(x,y)=(ax+b)(cy+d) f(x,y)=(ax+b)(cy+d)
四个待定系数的确定：
利用矩形四个顶点(插值节点)处的函数值，建立四个方程进行求解

易理解实现
函数连续
光滑性不好

三次卷积插值，三次样条插值
保证光滑

二维插值的Matlab实现

网格节点

z = interp2(x0, y0, z0, x, y, 'method')

x0，y0，z0，指定插值节点对应的坐标
x，y，指定被插值节点的信息
z，被插值节点的插值结果
method，插值方法
nearest：最邻近插值
linear：线性插值 C 0 C^{0} C0
spline：三次样条插值 C 2 C^{2} C2
cubic：三次卷积插值 C 1 C^{1} C1
缺省时：线性插值
x0，y0单调
x，y为同型矩阵，或一个行向量另一个列向量
x，y不能够超过x0，y0的范围(内插)

散乱节点

z = gridata(x0, y0, z0, x, y, 'method')

x0，y0，z0，指定插值节点对应的坐标
x，y，指定被插值节点的信息
z，被插值节点的插值结果
method，插值方法
nearest：最邻近插值
linear：线性插值 C 0 C^{0} C0
cubic：三次插值 C 2 C^{2} C2
v4：双调和样条插值 C 2 C^{2} C2
缺省时：线性插值
x，y为同型矩阵，或一个行向量另一个列向量
x，y不能够超过x0，y0的范围(内插)

例1

画出原始数据的温度分布图

复制代码

x=1:5;
y=1:3;
temps=[82 81 80 82 84;
	79 63 61 65 81;
	84 84 82 85 86];
mesh(x,y, temps)

然后，在x，y方向上每隔0.2个单位处进行插值，

再输入以下命令：

复制代码

xi = 1: 0.2 : 5;
yi = 1: 0.2 : 3;
zi = interp2(x, y, temps, xi', yi, 'cubic');
mesh(xi, yi, zi)

画出插值后的温度分布曲面图

例2

画出原始海拔高度数据分布图

复制代码

x=1200: 400: 4000;
y=[1200 1600 2400 2800 3200 3600];
[X,Y] = meshgrid(x,y);
Z=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;
1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;
1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;
1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;
1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;
1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];
surfc(X, Y, Z);

meshgrid，对分割向量进行网格交叉，得到网格矩阵
surfc，三维空间曲面绘制

然后，对x，y方向上的取值向量加密，定义被插值数据点

复制代码

xi = linspace(1200, 4000, 50);
yi = linspace(1200, 3600, 50);
[XI,YI]=meshgrid(xi,yi);

linspace，从1200到4000，产生50个均匀分布的点，构成等差数列
进行插值计算，并可视化

methods = {'nearest', 'linear', 'spline', 'cubic'};
for i = 1 : 4
ZI = interp2(X, Y, Z, XI, YI, methods{i});
subplot(2, 2, i);
surfc(XI, YI, ZI);%这个函数直接就是把等高线画在下面
title(['方法:',methods{i}]);
xlabel('x');
ylabel('y');
end