悬挂的绳子，它的函数方程是什么样子的？
参考资料：
前言
一个偶然的机会，笔者记起来，当时的高中数学教材引入自然常数 e e e 的时候，似乎提到一句话，大体意思是说 e e e 在生活中随处可见，比如两段电线杆之间自然下垂的电线就藏着自然常数的身影。
本人虽然没有学过大学物理，但是名义上来说也是学过了《微积分》和《线性代数》，因此机缘巧合之下，就想要试试能不能尽力去推导一下，悬挂的绳子究竟对应着怎样的函数方程，是否有一些美妙的性质。
一开始，笔者尝试通过互联网检索关键词"悬挂的绳子"查找相关资料，果然找到了"悬链线方程"这一比较正式的说法，下面是笔者整理的过程。
定义和假设
这里我们考虑一根长度为 l l l 的绳，假设这根绳子是不可伸缩的，处处密度相等(假设线密度为 ρ \rho ρ )的，柔软的，左右两端点被固定在水平距离为 x x x 的两个端点上。
接下来，我们建立坐标系，设这个函数为 f ( x ) f(x) f(x)（这里的纵坐标并未定义，我们先不做讨论）。根据问题的对称性，该函数图像应该是左右对称的，也就是说，这是一个偶函数，我们重点关注 x > 0 x>0 x>0 的部分。
（图中只是给出函数的大体图像方便想象，请忽略具体值）
推导
根据假设，该函数的定义域是 x ∈ [ 0 , s 2 ] x \in [0, \frac s 2] x∈[0,2s]， 我们这里选取这样一段绳子，横坐标为 [ 0 , x 1 ] [0, x_1] [0,x1]（ x 1 x_1 x1可以取任意值）。
我们对这一部分绳子进行受力分析，这段绳子受到水平向左的拉力 F 0 F_0 F0，受到斜向右上的拉力 F 1 F_1 F1，设拉力方向与向右水平的夹角角度为 θ \theta θ，受到向下的重力 G G G。
（首先，我们要确定，绳子内部某一点所受拉力的方向一定沿着此处绳子的切线方向）：
针对 F 0 F_0 F0，水平的原因是 ( x = 0 ) (x=0) (x=0) 处的斜率为0（偶函数/最低点）；
针对 F 1 F_1 F1，这里函数的斜率就是 f ′ ( x 1 ) f'(x_1) f′(x1)，力的大小暂时未知；
针对 G G G，我们可以用 f ( x ) f(x) f(x) 表示出来这段绳子的长度，从而求出绳子的重力：
G = ρ g ∫ 0 x 1 1 + f ′ 2 ( x ) d x G = \rho g \int_{0}^{x_1} \sqrt{1 + f'^2(x)} \,dx G=ρg∫0x11+f′2(x) dx
下面，我们根据三个力的受力平衡，给出下面两个方程：
F 0 = F 1 ⋅ cos θ ( 水平方向 ) G = F 1 ⋅ sin θ ( 竖直方向 ) F_0 = F_1 \cdot \cos \theta \qquad(水平方向) \\ G = F_1 \cdot \sin \theta \qquad (竖直方向) \\ F0=F1⋅cosθ(水平方向)G=F1⋅sinθ(竖直方向)
两个式子做差：
G = F 0 ⋅ tan θ ⇒ ρ g ∫ 0 x 1 1 + f ′ 2 ( x ) d x = F 0 f ′ ( x ) ( tan θ = k = f ′ ( x ) ) ⇒ ρ g F 0 1 + f ′ 2 ( x ) = f ′ ′ ( x ) ( 两边同时求导消去积分 ) G = F_0 \cdot \tan \theta \\ \Rightarrow \rho g \int_{0}^{x_1} \sqrt{1 + f'^2(x)} \,dx = F_0 f'(x) \qquad(\tan\theta = k = f'(x)) \\ \Rightarrow \frac{\rho g}{F_0}\sqrt{1 + f'^2(x)} = f''(x) \qquad(两边同时求导消去积分) G=F0⋅tanθ⇒ρg∫0x11+f′2(x) dx=F0f′(x)(tanθ=k=f′(x))⇒F0ρg1+f′2(x) =f′′(x)(两边同时求导消去积分)
为了方便表示，这里的系数是定值，不妨设为 a a a，于是有：
a 1 + f ′ 2 ( x ) = f ′ ′ ( x ) a \sqrt{1 + f'^2(x)} = f''(x) a1+f′2(x) =f′′(x)
原本的问题就变成了对这样一个微分方程的求解。
求解微分方程
（过程有些繁琐但是用到的都是比较基础的微积分知识）
这里我直接求助了 deepseek，最后与视频给出的答案也是一致的，过程如下：
令 f ′ ( x ) = p ( x ) , f ′ ′ ( x ) = p ′ ( x ) ，原本的问题变为 p ′ ( x ) = p 2 ( x ) + 1 ⇒ d p p 2 ( x ) + 1 = a d x ⇒ d ( ln ( p + 1 + p 2 ) ) = a d x ⇒ ln ( p + 1 + p 2 ) = a x + C 这里带入 ( x = 0 ) 的情况，右侧为 C ，左侧因为 p ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 0 ，因此 C = 0 可以确定 于是现在只需要再去求 p 即可。 p + 1 + p 2 = e a x ( 1 ) ( 这里 ( 2 ) 的由来比较巧妙，可以理解为 ( 1 ) 取倒数之后的分子有理化 ) − p + 1 + p 2 = e − a x ( 2 ) 两者联立，就可以得到： f ′ ( x ) = p = 1 2 ( e a x − e − a x ) f ( x ) = 1 2 a ( e a x + e − a x ) + C 这里就回到我们一开始说的纵坐标问题，我们不妨让 C = 0 ，就可以得到一个非常优美的函数！！ f ( x ) = 1 2 a ( e a x + e − a x ) 令f'(x) = p(x), f''(x) = p'(x)，原本的问题变为 \\ p'(x) = \sqrt {p^2(x) + 1} \\ \Rightarrow \frac {dp} {\sqrt {p^2(x) + 1}} = adx \\ \Rightarrow d(\ln (p + \sqrt{1+p^2})) = adx \\ \Rightarrow \ln (p + \sqrt{1+p^2}) = ax + C \\ 这里带入 (x=0)的情况，右侧为C，左侧因为 p(0) = f'(0) = 0，因此C=0可以确定 \\ 于是现在只需要再去求p即可。 \\ p + \sqrt{1+p^2} = e^{ax} \quad (1) \\ (这里(2)的由来比较巧妙，可以理解为(1)取倒数之后的分子有理化)\\ -p + \sqrt{1+p^2} = e^{-ax} \quad (2) \\ 两者联立，就可以得到： \\ f'(x) = p = \frac 1 {2} (e^{ax} - e^{-ax}) \\ f(x) = \frac{1}{2a} (e^{ax} + e^{-ax}) + C \\ 这里就回到我们一开始说的纵坐标问题，我们不妨让 C = 0，就可以得到一个非常优美的函数！！\\ f(x) = \frac{1}{2a} (e^{ax} + e^{-ax}) 令f′(x)=p(x),f′′(x)=p′(x)，原本的问题变为p′(x)=p2(x)+1 ⇒p2(x)+1 dp=adx⇒d(ln(p+1+p2 ))=adx⇒ln(p+1+p2 )=ax+C这里带入(x=0)的情况，右侧为C，左侧因为p(0)=f′(0)=0，因此C=0可以确定于是现在只需要再去求p即可。p+1+p2 =eax(1)(这里(2)的由来比较巧妙，可以理解为(1)取倒数之后的分子有理化)−p+1+p2 =e−ax(2)两者联立，就可以得到：f′(x)=p=21(eax−e−ax)f(x)=2a1(eax+e−ax)+C这里就回到我们一开始说的纵坐标问题，我们不妨让C=0，就可以得到一个非常优美的函数！！f(x)=2a1(eax+e−ax)