弗洛伊德算法（Floyd's algorithm） ，又称为弗洛伊德-沃尔什算法（Floyd-Warshall algorithm），是一种用于在加权图中找到所有顶点对之间最短路径的算法 。这个算法适用于有向图和无向图，并且可以处理负权重边，但不能处理负权重循环。
弗洛伊德算法（Floyd-Warshall Algorithm）是一种用于计算图中所有顶点对之间最短路径的动态规划算法。本文将详细介绍弗洛伊德算法的原理，并提供一个C++实现的示例，以帮助读者理解算法的工作原理和编程技巧。
算法原理
弗洛伊德算法的核心思想 是通过逐步寻找并更新所有顶点对之间的最短路径来解决问题。算法使用一个距离矩阵来存储顶点之间的距离，并在每一步中考虑通过一个新的中间顶点来更新这些距离。跟上一篇Dijkstra算法一样的原理，也是通过中转点去更新最短距离。不过Floyd算法处理的是多源的最短路问题。
算法步骤
- 初始化一个距离矩阵，其中
dist[i][j]表示顶点i到顶点j的直接距离。如果i和j不直接相连，则dist[i][j]为无穷大。 - 对于每个顶点
k，作为中间顶点，更新dist[i][j]为min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])。
Floyd是经典三重for循环，所以它的时间复杂度为o(n^3)，n是图中顶点的数量。第一层遍历中转点，第二层遍历起点，第三层遍历终点，对于图中点的数量多的情况，Floyd算法的时间复杂度是很高的。
图解算法：
下面我们将以4个点的图进行讲解，图的连边为有向边和无向边的结合。以邻接矩阵的方式进行存储，如果大家喜欢用邻接表存储，也可以使用邻接表，下面介绍两个矩阵，矩阵A 表示（i，j）i->j的最短距离，初始化为inf。矩阵B表示i->j路径由i到j的中转点，也就是路径上除去起点的第一个点，初始化为-1。
初始：
按照图中的点距离给其赋值，A矩阵i->i距离都为0，inf为无法到达。B矩阵初始为-1。
第一步：
我们选取一个点（按照顺序选取）把它作为中转点，看看以它为中转点，所能到达的点中有没有产生更小的距离，如果产生了，则更新A矩阵的距离，更新B矩阵的中转点。我们先选取1号点，那么位于1号点的行跟列的值都是不可能变化的，还有就是自己到自己的点也是不会变化的永远是0，图中黄颜色标记的是此步不会改变的点，其他的可能会变。在更新距离的时候我们可以不看图就能更新矩阵，例如下图中2号点到3号点本来为10，我们可以连一个矩阵，以1号点画的两条蓝线为两条边，红色线为剩余2边，我们既然把1号点当作中转点，路径必然为2-1-3，此时距离就是副对角线的顶点值相加2+6=8<10，那么通过1号点绕路的方式距离更短。类似的还有3->2号点，6+2=8<inf。3->4号点，10+6=16<inf。4->3号点，10+6=16<inf。顺便把B矩阵更新完。
更新完后（红色标记为变化的值）：
第二步：
此时把2号结点作为中转结点，看一看能够更新哪一个最短路径，还是跟上一步一样直接看图更新就可以。如下图，4->1号点，2+4=6<10。1->4号点，2+4=6<10。3->4号点，8+4=12<16。4->3号点，8+4=12<16。对于一些不能更新的值，例如1->3号点，2+8=10>6，这样的则不能更新。
对于B矩阵，要注意3->4跟4->3的路径是相反的，更新是则不能直接修改为2，对于3->4号点第一个中转点还是1号点。更新完后（红色标记为变化的值）：
第三步：
把3号点作为中转结点，跟前几步一样，继续寻找最短距离。经过更新我们发现3号点作为中转点不能更新任意一个距离，所以A、B矩阵不需要更新。在图中，经过验证我们发现3号点中转距离反而变大，所以不更新。
第四步：
把4号点作为中转点，继续更新最短距离。我们发现跟3号点一样，不能更新任何距离，在A矩阵中除了黄色的点之外，所能连起来的矩形，主对角线顶点值相加都比当前值要大。在图中也可以验证，所以不给予更新。
这样我们就更新完所有点，把所有点都当作中转点更新完一遍，这样就完成了Floyd算法，更新时每次按照顺序把点当作中转点，遍历寻找路径的起点，再遍历寻找终点，算法时间复杂度为o(n^3)。
视频讲解可以看一下B站这位UP主的讲解，点击直达
算法实现：
以下是弗洛伊德算法的C++实现示例：
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
using namespace std;
// 定义图的顶点数
const int N = 100;
// 定义无穷大的初始距离
const int INF = numeric_limits<int>::max();
// 弗洛伊德算法的实现
void floydWarshall(vector<vector<int>>& dist) {
int n = dist.size();
// 遍历所有顶点作为中间顶点
for (int k = 0; k < n; k++) {
// 遍历所有顶点作为起点
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 遍历所有顶点作为终点
for (int j = 0; j < n; j++) {
// 如果通过顶点k可以找到更短的路径，则更新dist[i][j]
if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF && dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
}
}
}
}
}
int main() {
int n; // 顶点的数量
cin >> n;
vector<vector<int>> dist(n, vector<int>(n, INF)); // 初始化距离矩阵
// 读取邻接矩阵
for (int i = 0; i < n; i++) {
dist[i][i] = 0; // 自己到自己的距离是0
for (int j = i; j < n; j++) {
int w;
cin >> w;
dist[i][j] = w;
dist[j][i] = w; // 如果是无向图，需要设置对称的权重
}
}
// 执行弗洛伊德算法
floydWarshall(dist);
// 打印所有顶点对之间的最短路径
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (dist[i][j] == INF) {
cout << "INF" << " ";
} else {
cout << dist[i][j] << " ";
}
}
cout << endl;
}
return 0;
}Floyd与Dijkstra算法比较
迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd-Warshall algorithm）都是图论中用于计算图中最短路径的著名算法。它们在某些方面有相似之处，但在设计和应用上存在显著差异，下面我们将对这两种算法的相同跟不同进行解释。
相同点：
- 目的 ：两者都旨在解决最短路径问题。
- 适用性：它们都可以用于加权图中的最短路径计算，无论是正权还是负权（只有弗洛伊德算法）。
不同点：
问题范围：
- 迪杰斯特拉算法：主要用于单元路径的最短路问题，即从单一源点到所有其他顶点的最短路径。
- 弗洛伊德算法：解决的是所有顶点对之间的最短路径问题，即计算图中每一对顶点之间的最短路径。
时间复杂度：
- 迪杰斯特拉算法：具有较高的效率，时间复杂度为O(V^2)（使用朴素实现）或O((V+E) log V)（使用优先队列优化）。（V顶点E条边）
- 弗洛伊德算法：时间复杂度为O(V^3)，因为它需要计算所有顶点对的最短路径。
实现方式：
- 迪杰斯特拉算法：通常使用贪心策略，从一个顶点开始，逐步扩展到邻接顶点，直到找到所有顶点的最短路径。
- 弗洛伊德算法：使用动态规划，通过三层循环迭代地改进路径长度，直到达到最优解。
对负权边的处理：
- 迪杰斯特拉算法：不能处理负权边，因为负权边会破坏算法的贪心选择性质。
- 弗洛伊德算法：可以处理负权边，但图中不能有负权环，否则最短路径问题没有解。
初始化：
- 迪杰斯特拉算法：从源点到其他所有顶点的距离初始化为无穷大，源点到自身的距离为0。
- 弗洛伊德算法：所有顶点到自身的距离初始化为0，其他顶点间的距离初始化为边的权重或无穷大（如果无直接连接）。
本篇详解Floyd算法，如果想看Dijkstra算法的话，可以看博主上一篇博客，针对于Dijkstra算法的详解：迪杰斯特拉(Dijkstra)算法（C/C++)-CSDN博客
执笔至此，感触彼多，全文将至，落笔为终，感谢大家的支持。