[Algorithm][综合训练][合唱团][跳台阶扩展问题][矩阵最长递增路径]详细讲解

目录

• 1.合唱团
• • 1.题目链接
  • [2.算法原理详解 && 代码实现](#2.算法原理详解 && 代码实现)
• 2.跳台阶扩展问题
• • 1.题目链接
  • [2.算法原理详解 && 代码实现](#2.算法原理详解 && 代码实现)
• 3.矩阵最长递增路径
• • 1.题目链接
  • [2.算法原理详解 && 代码实现](#2.算法原理详解 && 代码实现)

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1.合唱团

1.题目链接

• 合唱团

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2.算法原理详解 && 代码实现

• 解法：动态规划

  • 状态表示：

    • f[i][j]：从[i, j]中挑选，挑j个人，最后一个人必选，此时的最大乘积
    • g[i][j]：从[i, j]中挑选，挑j个人，最后一个人必选，此时的最小乘积

  • 状态转移方程 ：
    

  • 返回值 ：max(f[n][k] ~ f[k][k])

  • 初始化 ：绿色圆圈部分全部初始化为正负无穷，保证不会参与比较
    

  #include <iostream>
  #include <vector>
  using namespace std;
  
  int main()
  {
      const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
      int n = 0, k = 0, d = 0;
      cin >> n;
      
      vector<int> nums(n + 1, 0);
      for(int i = 1; i <= n; i++)
      {
          cin >> nums[i];
      }
      cin >> k >> d;
  
      vector<vector<long long>> f(n + 1, vector<long long>(k + 1, 0));
      vector<vector<long long>> g(n + 1, vector<long long>(k + 1, 0));     
  
      // 初始化在填表中进行
      for(int i = 1; i <= n; i++)
      {
          g[i][1] = f[i][1] = nums[i]; // 初始化
          for(int j = 2; j <= min(i, k); j++) // 挑选几个人
          {
              f[i][j] = -INF; // 初始化
              g[i][j] = INF;  // 初始化
  
              // 前⾯挑选的最后⼀个位置
              for(int prev = max(i - d, j - 1); prev <= i - 1; prev++)
              {
                  f[i][j] = max(max(f[prev][j - 1] * nums[i], g[prev][j - 1] * nums[i]), f[i][j]);
                  g[i][j] = min(min(f[prev][j - 1] * nums[i], g[prev][j - 1] * nums[i]), g[i][j]);
              }
          }
      }
  
      long long ret = -INF;
      for(int i = k; i <= n; i++)
      {
          ret = max(ret, f[i][k]);
      }
      cout << ret << endl;
  
  	return 0;
  }

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2.跳台阶扩展问题

1.题目链接

• 跳台阶扩展问题

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2.算法原理详解 && 代码实现

• 解法一：动态规划

• 解法二 ：规律

  #include <iostream>
  using namespace std;
  
  int main()
  {
  	int n = 0;
  	cin >> n;
  	cout << (1 << (n - 1)) << endl;
  
  	return 0;
  }

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3.矩阵最长递增路径

1.题目链接

• 矩阵最长递增路径

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2.算法原理详解 && 代码实现

• 解法 ：记忆化搜索 --> 整理下来是为了再熟悉一下记忆化搜索，无它

  class Solution 
  {
      int n = 0, m = 0;
      int dx[4] = {1, -1, 0, 0};
      int dy[4] = {0, 0, 1, -1};
      vector<vector<int>> mem;
  public:
      int solve(vector<vector<int>>& matrix) 
      {
          n = matrix.size(), m = matrix[0].size();
          mem.resize(n, vector<int>(m, -1));
          
          int ret = 1;
          for(int i = 0; i < n; i++)
          {
              for(int j = 0; j < m; j++)
              {
                  ret = max(ret, DFS(i, j, matrix));
              }
          }
  
          return ret;
      }
  
      int DFS(int i, int j, const vector<vector<int>>& matrix)
      {
          if(mem[i][j] != -1)
          {
              return mem[i][j];
          }
  
          int len = 1;
          for(int k = 0; k < 4; k++)
          {
              int x = i + dx[k], y = j + dy[k];
              if(x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m 
                  && matrix[x][y] > matrix[i][j])
              {
                   len = max(len, 1 + DFS(x, y, matrix));
              }
          }
  
          mem[i][j] = len;
          return len;
      }
  };