【数学建模学习手册】python基本入门使用

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numpy库

导入

python 复制代码

import numpy as

数组创建

示例1：

python 复制代码

import numpy as np
a1 = np.array([1, 2, 3, 4])   #生成整型数组
a2 = a1.astype(float)
a3 = np.array([1, 2, 3, 4], dtype=float)   #浮点数
print(a1.dtype); print(a2.dtype); print(a3.dtype)
b = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
c = np.arange(1,5)        #生成数组[1, 2, 3, 4]
d = np.linspace(1, 4, 4)  #生成数组[1, 2, 3, 4]
e = np.logspace(1, 3, 3, base=2)  #生成数组[2, 4, 8]
print(b)
print(c)
print(d)
print(e)

示例2：

python 复制代码

import numpy as np
a = np.ones(4, dtype=int)     #输出[1, 1, 1, 1]
b = np.ones((4,), dtype=int)  #同a
c= np.ones((4,1))             #输出4行1列的数组
d = np.zeros(4)               #输出[0, 0, 0, 0]
e = np.empty(3)               #生成3个元素的空数组行向量
f = np.eye(3)                 #生成3阶单位阵
g = np.eye(3, k=1)  #生成第k对角线的元素为1，其他元素为0的3阶方阵
h = np.zeros_like(a)          #生成与a同维数的全0数组

数组元素索引：

示例：

python 复制代码

import numpy as np
a = np.arange(16).reshape(4,4)  #生成4行4列的数组
b = a[1][2]   #输出6
c = a[1, 2]   #同b
d = a[1:2, 2:3]  #输出[[6]]
x = np.array([0, 1, 2, 1])
print(a[x==1])  #输出a的第2、4行元素

矩阵运算与线性代数

线性代数只要使用numpy.linalg模块，其常用函数如下：

求解线性方程组的唯一解

例1：求解线性方程组：

代码：

python 复制代码

import numpy as np
a = np.array([[3, 1], [1, 2]])
b = np.array([9, 8])
x1 = np.linalg.inv(a) @ b  #第一种解法
#上面语句中@表示矩阵乘法
x2 = np.linalg.solve(a, b) #第二种解法
print(x1); print(x2)

结果：

求超定方程组的最小二乘解

例2：求解线性方程组：

代码：

第一种：

python 复制代码

import numpy as np
a = np.array([[3, 1], [1, 2], [1, 1]])
b = np.array([9, 8, 6])
#a*b
x = np.linalg.pinv(a) @ b  
print("求得的最小二乘解为：")
print(np.round(x, 4))

第二种：

使用 lstsq 求解最小二乘问题:

a: 系数矩阵。
b: 右侧的结果向量。
rcond: 用来裁剪奇异值的一个参数（可以先设置为 None，默认行为会使用合理的值）

lstsq 函数返回四个值：

x: 最小二乘解，即满足 a @ x ≈ b 的解。
residuals: 残差的平方和。如果方程是过定的（更多的方程比未知数多），这个值才有意义。
rank: 矩阵 a 的秩。
s: a 的奇异值。

python 复制代码

import numpy as np
a = np.array([[3, 1], [1, 2], [1, 1]])
b = np.array([9, 8, 6])
x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(a, b, rcond=None)
print("求得的最小二乘解为：")
#round对数组中的每个元素进行四舍五入。4就是保留四位
print(np.round(x, 4))

两种方法的比较：

pinv 方法 ：先通过 np.linalg.pinv(a) 求解 a 的伪逆矩阵，再用矩阵乘法 @ 乘以向量 b 来得到最小二乘解。适合直接计算伪逆矩阵的场合。
lstsq 方法：直接求解最小二乘解，它比伪逆法更高效，因为它不需要显式计算伪逆矩阵，并且提供了残差、矩阵秩等额外信息。
在数值精度和计算效率上，lstsq 通常表现得更好，尤其是当矩阵 a 较大时

结果：

什么是超定方程？

超定线性方程组（overdetermined system of linear equations）指的是方程的数量多于未知数的线性方程组。这意味着方程的数量 mmm 大于未知数的数量 nnn（即 m>nm > nm>n）。

特点：

方程数量多于未知数：这类方程组往往没有精确的解，因为过多的方程对未知数施加了更多的约束条件，这些条件可能互相矛盾，无法同时满足。
无法精确求解：由于不可能满足所有方程，通常需要使用最小二乘法等数值方法来找到使方程"近似成立"的解。这种解不是精确解，而是尽可能让方程残差（误差）最小的解。

例子：

求矩阵的特征值特征向量：

例1：

代码：

python 复制代码

import numpy as np

#它创建一个 4x4 的单位矩阵
#单位矩阵的定义是：对角线上（从左上到右下）所有元素为 1，其余元素为 0。
a = np.eye(4)
# a = [[1. 0. 0. 0.]
#      [0. 1. 0. 0.]
#      [0. 0. 1. 0.]
#      [0. 0. 0. 1.]]


#将矩阵逆时针旋转 90 度
b = np.rot90(a)
# b = [[0. 0. 0. 1.]
#      [0. 0. 1. 0.]
#      [0. 1. 0. 0.]
#      [1. 0. 0. 0.]]

#如果想顺时针旋转90度，加上一个参数k=-1；
# b=np.rot90(a,-1)
# b = [[0. 0. 0. 1.]
#      [0. 0. 1. 0.]
#      [0. 1. 0. 0.]
#      [1. 0. 0. 0.]]

#顺时针旋转与逆时针旋转的关系：
#顺时针旋转 90 度相当于逆时针旋转 270 度。因此，你也可以通过 np.rot90(a, k=3) 达到相同的效果。
c, d = np.linalg.eig(b)
print('特征值为：', c)
print('特征向量为：\n', d)

结果：

Pandas库

生成二维数组：

例1：生成服从标准正态分布的24x4随机数矩阵，并保存为DataFrame数据结构

python 复制代码

import pandas as pd
import numpy as np

# 创建数据
dates = pd.date_range(start='20191101', end='20191124', freq='D')
a1 = pd.DataFrame(np.random.randn(24, 4), index=dates, columns=list('ABCD'))
a2 = pd.DataFrame(np.random.rand(24, 4))

# 数据写入文件实例
a1.to_excel('data2_4_1.xlsx')  # 保存到 Excel
a2.to_csv('data2_4_2.csv')     # 保存到 CSV
#不包含行索引时
a1.to_excel('data2_4_1.xlsx', index=False)  # 保存到 Excel，不包含行索引
a2.to_csv('data2_4_2.csv', index=False)     # 保存到 CSV，不包含行索引

读写文件

例2：写入文件

python 复制代码

import pandas as pd
import numpy as np

# 创建数据
dates = pd.date_range(start='20191101', end='20191124', freq='D')
a1 = pd.DataFrame(np.random.randn(24, 4), index=dates, columns=list('ABCD'))
a2 = pd.DataFrame(np.random.rand(24, 4))

# 数据写入文件实例
a1.to_excel('data2_4_1.xlsx')  # 保存到 Excel
a2.to_csv('data2_4_2.csv')     # 保存到 CSV
#不包含行索引时
a1.to_excel('data2_4_1.xlsx', index=False)  # 保存到 Excel，不包含行索引
a2.to_csv('data2_4_2.csv', index=False)     # 保存到 CSV，不包含行索引
# 使用 with 语句创建 ExcelWriter 对象
with pd.ExcelWriter('data2_4_3.xlsx') as writer:
    a1.to_excel(writer, sheet_name="Sheet1")  # 把a1写入Excel文件的Sheet1
    a2.to_excel(writer, sheet_name="Sheet2")  # 把a2写入另一个表单Sheet2
# 文件会自动保存和关闭，无需显式调用 save() 方法

结果：

如果写入数据时，不包含行索引：

python 复制代码

import pandas as pd
import numpy as np

# 创建数据
dates = pd.date_range(start='20191101', end='20191124', freq='D')
a1 = pd.DataFrame(np.random.randn(24, 4), index=dates, columns=list('ABCD'))
a2 = pd.DataFrame(np.random.rand(24, 4))


#不包含行索引时
a1.to_excel('data2_4_4.xlsx', index=False)  # 保存到 Excel，不包含行索引   header=False  不包含列索引
a2.to_csv('data2_4_5.csv', index=False)     # 保存到 CSV，不包含行索引
# 使用 with 语句创建 ExcelWriter 对象
with pd.ExcelWriter('data2_4_6.xlsx') as writer:
    a1.to_excel(writer, sheet_name="Sheet1", index=False)  # 把a1写入Excel文件的Sheet1
    a2.to_excel(writer, sheet_name="Sheet2",index=False)  # 把a2写入另一个表单Sheet2

数据预处理：

例1：拆分，合并，分组计算

python 复制代码

import pandas as pd
import numpy as np
d=pd.DataFrame(np.random.randint(1,6,(10,4)), columns=list("ABCD"))
d1=d[:4]  #获取前4行数据
d2=d[4:]  #获取第5行以后的数据
dd=pd.concat([d1,d2])   #数据行合并
s1=d.groupby('A').mean()      #数据分组求均值
s2=d.groupby('A').apply(sum)  #数据分组求和

print(d,'\n')
print(d1,'\n')
print(d2,'\n')
print(dd,'\n')
print(s1,'\n')
print(s2,'\n')

结果：

例2：DataFrame数据操作示例

python 复制代码

import pandas as pd
import numpy as np
a = pd.DataFrame(np.random.randint(1,6,(5,3)),
                 index=['a', 'b', 'c', 'd', 'e'],
                 columns=['one', 'two', 'three'])
a.loc['a', 'one'] = np.nan  #修改第1行第1列的数据
b = a.iloc[1:3, 0:2].values  #提取第2、3行，第1、2列数据
a['four'] = 'bar'  #增加第4列数据
a2 = a.reindex(['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f'])
a3 = a2.dropna()   #删除有不确定值的行
print(a,'\n')
print(b,'\n')
print(a2,'\n')
print(a3,'\n')

SciPy库

模块功能表：

求解非线性方程组

求方程：

代码实现：

python 复制代码

from scipy.optimize import fsolve, root
fx = lambda x:     x**980-5.01*x**979+7.398*x**978\
    -3.388*x**977-x**3+5.01*x**2-7.398*x+3.388
x1 = fsolve(fx, 1.5, maxfev=4000)  #函数调用4000次
x2 = root(fx, 1.5)
print(x1,'\n','-------------');print(x2)

注意：

例2：求下列方程组的一组数值解

python 复制代码

from scipy.optimize import fsolve, root
fx = lambda x: [x[0]**2+x[1]**2-1, x[0]-x[1]]
#初始值为[1,1]
s1 = fsolve(fx, [1, 1])
s2 = root(fx, [1, 1])
print(s1,'\n','--------------'); print(s2)

积分：

例1：

python 复制代码

from scipy.integrate import quad
def fun46(x, a, b):
    return a*x**2+b*x
I1 = quad(fun46, 0, 1, args=(2, 1))
I2 = quad(fun46, 0, 1, args=(2, 10))
print(I1); print(I2)

结果：

最小二乘解

例1：

代码：

python 复制代码

from scipy.optimize import least_squares
import numpy as np
a=np.loadtxt('Z:\Code\python\建模培训2024\code\data2_47.txt')
x0=a[0]; y0=a[1]; d=a[2]
fx=lambda x: np.sqrt((x0-x[0])**2+(y0-x[1])**2)-d
s=least_squares(fx, np.random.rand(2))
print(s, '\n', '------------', '\n', s.x)

求矩阵最大模特征值与特征向量

代码：

python 复制代码

from scipy.sparse.linalg import eigs
import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3], [2, 1, 3], [3, 3, 6]], dtype=float)  #必须加float,否则出错
b, c = np.linalg.eig(a)
d, e = eigs(a, 1)
print('最大模特征值为：', d)
print('对应的特征向量为：\n', e)

SymPy库

定义符号变量或符号函数命令如下：

例1：求符号解

python 复制代码

import sympy as sp
a, b, c, x=sp.symbols('a,b,c,x')
x0=sp.solve(a*x**2+b*x+c, x)
print(x0)

例2：求符号解

代码实现：

python 复制代码

import sympy as sp
# sp.var('x1,x2')
# s=sp.solve([x1**2+x2**2-1,x1-x2],[x1,x2])
# print(s)
x1,x2=sp.symbols('x1,x2')
s=sp.solve([x1**2+x2**2-1,x1-x2],[x1,x2])
print(s)

例3：求矩阵的特征值与特征向量（符号解）

python 复制代码

import numpy as np
import sympy as sp
a = np.identity(4)  #单位矩阵的另一种写法
b = np.rot90(a)
c = sp.Matrix(b)
print('特征值为：', c.eigenvals())
print('特征向量为：\n', c.eigenvects())

Matplotlib库

plot绘图常见的样式和颜色类型：

例1：
代码：

python 复制代码

import pandas as pd
import pylab as plt
plt.rc('font',family='SimHei')  #用来正常显示中文标签
plt.rc('font',size=16)  #设置显示字体大小
a=pd.read_excel("Z:\Code\python\建模培训2024\code\data2_52.xlsx", header=None)
b=a.values  #提取其中的数据
x=b[0]; y=b[1:]
#第三个参数。虚实线+形状+颜色
plt.plot(x,y[0],'-*b',label='钻石')
plt.plot(x,y[1],'--dr',label='铂金')
plt.xlabel('月份'); plt.ylabel('每月销量')
plt.legend(loc='upper left'); plt.grid(); plt.show()

例2：画出销售额的柱状图;

python 复制代码

import pandas as pd
import pylab as plt
plt.rc('font',family='SimHei')  #用来正常显示中文标签
plt.rc('font',size=16)  #设置显示字体大小
a=pd.read_excel("Z:\Code\python\建模培训2024\code\data2_52.xlsx",header=None)
b=a.T
b.plot(kind='bar'); 

plt.legend(['钻石', '铂金'])
plt.xticks(range(6), b[0], rotation=0)
plt.ylabel('数量'); plt.show()

子图：

代码：

python 复制代码

import pylab as plt
import numpy as np
plt.rc('font',family='SimHei')  #用来正常显示中文标签
plt.rc('axes',unicode_minus=False)
#生成随机数，进行归一化处理
y1=np.random.randint(2, 5, 6)
#使其和为1
y1=y1/sum(y1)
#创建第一个子图，水平条形图
# 在一个 2x2 的子图网格中创建第一个子图，位于第一个位置。
plt.subplot(2, 2, 1)
str=['苹果', '葡萄', '桃子', '梨', '香蕉', '菠萝']
plt.barh(str,y1)  #水平条形图
#创建第二个子图，饼图
plt.subplot(222)
plt.pie(y1, labels=str)  #饼图
#创建第三个子图，折线图
plt.subplot(212)
#生成一个包含 100 个点的数组，这些点均匀分布在 0.01 到 10 之间。
x2=np.linspace(0.01, 10, 100)
y2=np.sin(10*x2)/x2
plt.plot(x2,y2); plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$\\mathrm{sin}(10x)/x$'); plt.show()

结果：

三维绘图

例1：三维曲线

代码：

python 复制代码

import pylab as plt
import numpy as np
ax=plt.axes(projection='3d')  #设置三维图形模式
z=np.linspace(-50, 50, 1000)
x=z**2*np.sin(z); y=z**2*np.cos(z)
ax.plot(x, y, z, 'c')
plt.show()

例2：画出三维表面图：

python 复制代码

import pylab as plt
import numpy as np
x=np.linspace(-4,4,100)
x,y=np.meshgrid(x,x)
z=50*np.sin(x+y)
ax=plt.axes(projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z, color='b')
plt.show()

例3：

代码：

python 复制代码

import pylab as plt
import numpy as np
ax=plt.axes(projection='3d')
X = np.arange(-6, 6, 0.25)
Y = np.arange(-6, 6, 0.25)
X, Y = np.meshgrid(X, Y)
Z = np.sin(np.sqrt(X**2 + Y**2))
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='coolwarm')
#在图形旁边添加一个颜色条，用于表示不同颜色对应的 Z 值（即表面的高度）。
plt.colorbar(surf); plt.show()

【数学建模学习手册】python基本入门使用

目录

numpy库

导入

数组创建

示例1：

示例2：

数组元素索引：

示例：

矩阵运算与线性代数

求解线性方程组的唯一解

例1：求解线性方程组：

求超定方程组的最小二乘解

例2：求解线性方程组：

第一种：

第二种：

两种方法的比较：

什么是超定方程？

求矩阵的特征值特征向量：

Pandas库

生成二维数组：

读写文件

数据预处理：

SciPy库

求解非线性方程组

积分：

最小二乘解

求矩阵最大模特征值与特征向量

SymPy库

例1：求符号解

例2：求符号解

例3：求矩阵的特征值与特征向量（符号解）

Matplotlib库

子图：

三维绘图

例1：三维曲线