位图 —— 哈希思想的产物

在编程语言中，定义数据时，往往需要先声明其数据类型，以便于编译器编译时，根据类型正确的从内存中取出数据。这是怎么做到的呢？其实啊，这都是编程语言的设计者规定好的了；在C++语言中，语言的内置类型有 bool、char、short、int、long、longlong、float、double等。在32位平台下，这些数据类型占用的内存空间大小如下：

bool 类型的数据占用一个字节的空间。
char 类型的数据占用一个字节的空间。
short 类型的数据占用两个字节的空间。
int 类型的数据占用4字节的空间。
longlong 类型的数据占用8个字节的空间。
float 类型的数据占用4个字节的空间。
double类型的数据占用8个字节的空间。

位和字节的示意图如下图所示：

2.位图的讲解

位图的引出

因为数据是由类型的，类型又决定了数据占用多大的内存空间，所以我们存储数据的时候，需要根据数据的大小，合理的使用数据类型，才能更好的使用内存资源。而且，在**面对一些数据量特别多的情况下，我们也应该考虑使用占用内存空间小的数据类型解决问题，**这就是位图的用武之地。比如下面这个问题：

题目： 给40亿个不重复的无符号整数，没排过序；给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在

这40亿个数中？

你可能会想到以下解法：

解法一：放在数组中，直接暴力地遍历查找。时间复杂度为O(N)。

解法二：要查找一个数？嗯，哦哦哦！我们可以使用二分查找。

1.先用一个数组把这四十亿个不重复的、无符号的整数装起来；
2.然后排序，排序可以使用快速排序；
3.排完序之后，再跑一个二分查找；

排序的时间复杂度为O(NlogN)，二分查找时间复杂度为logN。

解法三：利用二叉搜索树结构的容器进行查找。

1.把数据装进set中。
2.调用其接口进行查找。

set的底层数据结构是红黑树，是一种接近平衡的二叉搜索树，最多只需要查找数的高度次，数据的查找效率是O(logN)。

上述解法的效率依次提升，你可能会说："嗯，不错不错，我真牛批"。但是你别忘了，那可是40亿个无符号整数呀，你电脑的内存装不装的下还是个问题呢。

我们可以讨论一下，这四十亿个不重复无符号整数需要多大的内存空间？

分析：首先，题目说有四十亿个不重复的 、无符号的整数，但是没有告诉我们具体是哪一种的无符号整数类型；要想有四十亿个不重复的数，该数值的数据类型得支持，下面枚举C++中的无符号整数类型。

unsigned int ：
- 字节数：通常为4字节（32位）。
- 取值范围 ：从0到2^32 - 1，即0到4,294,967,295。这个范围明显大于四十亿（4,000,000,000），因此unsigned int可以满足要求。
unsigned short ：
- 字节数：通常为2字节（16位）。
- 取值范围 ：从0到2^16 - 1，即0到65,535。这个范围远小于四十亿，因此**unsigned short**不能满足要求。
unsigned long ：
- 字节数 ：在大多数现代系统上，**unsigned long**是4字节（32位），但在某些平台（特别是64位系统）上，它可能是8字节（64位）。
- 取值范围 ：如果是4字节，取值范围与**unsigned int** 相同，即0到4,294,967,295；如果是8字节，则取值范围更大，远超过四十亿。无论是哪种情况，unsigned long都能满足要求。
unsigned long long ：
- 字节数：通常为8字节（64位）。
- 取值范围 ：从0到2^64 - 1，即0到18,446,744,073,709,551,615。这个范围远大于四十亿，因此unsigned long long也能满足要求，但相比unsigned int或4字节的unsigned long，它占用了更多的内存空间。

分析上面的数据类型，我们要想支持40亿个不重复的数，且尽可能的节省空间，我们的最佳选择是unsigned int类型，该类型的数据在32位平台下占用4字节，也就是8个比特位。1G大约为10亿个字节，40亿个无符号整数大约占用160亿个字节，也就是大约16G的内存空间。可以设想，光跑这一个程序就要16G的内存空间，其他程序还怎么玩呀？

位图的使用

所以使用上面的三种解法都不靠谱，这个时候，我们有了计算机中存储单位的前置知识，我们自然而然的就想要用最小的单位 bit 来表示数据的存储了，但是bit只有个两种取值，0和1；这可怎么办呢？

学过逻辑数学的朋友都知道，逻辑电路中，通常使用0和1来表示两种状态，我们这里也是一样的，我们可以用1表示数据存在，用0表示数据不存在；还是这个题目。

题目： 给40亿个不重复的无符号整数，没排过序；给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在

这40亿个数中？

题目只要求我们判断一个数在不在，在和不在，不就是两种状态吗？哦，感觉有戏。不要忘记，题目中说的是40亿个不重复的数；结合哈希的思想，如果一个数可以映射一个bit位，数据和位置之间不就建立了一一映射的关系了吗？所以我们现在的重点是，数据如何与位置之间建立一一映射关系？

一个数据映射一个比特位，我们就需要40亿个比特位，大约是4GB，大部分的电脑是能满足这个需求的。因为数据是不重复的，我们完全可以将数据和不同的比特位映射起来，具体做法如下：

数据的值是666，就映射第666个比特位，数据的值是888，就映射第888个比特位。
当我们需要判断一个数是否存在时，直接根据元素的值计算出元素所映射的bit位。
通过判断该bit位是否为1，从而确定元素是否存在。

位图的实现

下面讲解位图这种数据结构的实现，相信看完之后，对位图的理解会更上一层楼！

成员变量设计图如下图所示：

我们采用采用一个vector，vector中装的是int类型的数据。

操作数据的成员方法有三个：

void set(size_t x)：把数据x映射的位标记为1。
void reset(size_t x)：把数据x映射的位标记为0。
bool test(size_t x)：判断数据x是否存在。

void set(size_t x)的实现：set函数用来将数据x映射的比特位标记为1。为了实现这个功能，我们分为以下三步。

1.计算出数据x在位图中的第几个整形数据中；

一个整形数据占用4个字节，也就是32个bit位；使用数据x对32做除法，即可计算出该数据在第几个整形数据中。

2.计算出数据x在该整形数据的第几个bit位中；

想要计算出该数据在整形数据中的第几个bit位，我们可以对32进行取余操作。

3.将该bit位置为1。

比如：我们想要将下图中的第i个bit位置为1，我们可以利用1的特性 ------ 最低位位1，其他位全为0。进行这两步操作：

a、将1移到第i个bit位的下方，示意图如下所示：

b、然后让二者进行按位或操作（两个bit位进行按位或操作，有1则1），示意图如下所示：

这样一来，我们就将第i个bit位置为1了。

set方法代码如下：

		// 将该数据映射的位置设为1 
		void set(size_t x)
		{
			// 比如：25 应该映射在第25个比特位上
			// 1.计算在第几个整形上
			size_t i = x / 32;

			// 2.计算该整形的第几个比特位上
			size_t j = x % 32;

			_bitset[i] |= 1 << j; // 左移是往 高位移，右移是往 低位移
		}

**void reset(size_t x)的实现：**reset()函数用于将数据x映射的bit位标记为0，为了实现这个功能，我们也可以分为三步走。

1.确定该数据在位图中的第几个整形数据中。

2.确定该数据在整形数据中的第几个bit位中。

3.将该bit位置为0。

前面两步和set()的前两步是一模一样的，具体实现过程参考前面的set方法。所以我们只需要学习如何将第i个bit位置为0。

想要将第i个bit位置为0，我们同样可以借助1来完成，当我们把1移到第i个bit位的下方之后，我们可以通过如下两步操作将第i个bit位置0。

a、将1进行按位取反操作，如下图所示：

b、和第i个bit位进行按位与操作，如下图所示：

reset方法代码如下：

		// 将该数据映射的位置设为0
		void reset(size_t x)
		{
			size_t i = x / 32;
			size_t j = x % 32;

			_bitset[i] &= ~(1 << j);
		}

**bool test(size_t x)方法的实现：**test方法用于检测第x个bit位是否为1，也就是判读数据x是否存在；要想实现这个功能，我们只需要实现以下三步。

1.确定该数据在位图中的第几个整形数据中。

2.确定该数据在整形数据中的第几个bit位中。

3.取出位图中第i个bit位的值。

没错，这三个接口的前面两步都是一样的，所以我们的目标就是弄懂第三步是怎么实现的。

要想实现第三步，我们还是可以借助1来完成；当我们把1移到位图中第i个bit位的下方之后，我们只需要返回两个bit位进行按位与操作的结果即可，因为C++中用0表示假，非0表示真，因此，0和1可以直接做逻辑条件判断。

如果位图中第i个bit位的值为0，和1进行按位与操作之后，结果还是0；如下图所示：

如果位图中第i个bit位的值为1，和1进行按位与操作之后，结果还是1；如下图所示：

test方法代码如下：

		// 判断该数据是否存在
		bool test(size_t x)
		{
			size_t i = x / 32;
			size_t j = x % 32;

			return _bitset[i] & (1 << j);
		}

位图完整代码

附上一份位图的完整代码：

	template<size_t N>// 位图空间开多大，不取决于要处理的数据个数，而是取决于数据的范围
	class BitSet
	{
	public:
		BitSet()
		{
			_bitset.resize(N / 32 + 1); // N是要开的比特位的个数，转换成对应的整形的个数
		}

		// 将该数据映射的位置设为1 
		void set(size_t x)
		{
			// 比如：25 应该映射在第25个比特位上
			// 1.计算在第几个整形上
			size_t i = x / 32;

			// 2.计算该整形的第几个比特位上
			size_t j = x % 32;

			_bitset[i] |= 1 << j; // 左移是往 高位移，右移是往 低位移
		}

		// 将该数据映射的位置设为0
		void reset(size_t x)
		{
			size_t i = x / 32;
			size_t j = x % 32;

			_bitset[i] &= ~(1 << j);
		}

		// 判断该数据是否存在
		bool test(size_t x)
		{
			size_t i = x / 32;
			size_t j = x % 32;

			return _bitset[i] & (1 << j);
		}
	private:
		std::vector<int> _bitset;
	};

3.位图的总结

位图其实就是将计算机中最小的存储单位 bit位和哈希思想结合实现的一种数据结构，用每一位来存放某种状态，适用于海量数据，数据无重复的场景，通常是用来判断某个数据存不存在的。

位图的优缺点

优点

空间效率高：由于每个元素只需要一个bit来表示，因此位图能够极大地节省存储空间。与使用整数或字符数组相比，位图在表示大量布尔值时具有显著的空间优势。
查询速度快：位图支持快速的查询操作。由于元素以位的形式存储，通过索引直接访问位数组，可以在O(1)时间复杂度内查询某个元素是否存在。这对于处理大规模数据集合非常有效。
去重和快速统计：位图可以高效地用于数据去重和统计。在处理大量数据时，可以快速判断一个数据是否已经出现过，并统计出每个元素的频率。
数据压缩：对于只有两种状态的数据（如布尔值），使用位图可以极大地减少存储空间，实现高效的数据压缩。

缺点

数据类型限制 ：位图一般只能处理整形数据，如果内容编号是字符串或其他非整形类型，就无法直接使用位图进行处理。这限制了位图的适用范围。
功能限制 ：位图主要用于表示元素是否存在某个集合中，对于需要存储复杂数据或进行复杂查询的应用场景，位图可能不是最佳选择。
稀疏数据问题 ：如果元素值范围很大但实际值很稀疏，那么位图可能会浪费大量的空间。因为，位图需要为所有可能的元素值分配空间，即使某些值在数据集中并不存在。