勒让德多项式展开的详细过程
勒让德多项式是一类在区间 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1] 上正交的多项式，可以用来逼近函数。我们可以将一个函数表示为勒让德多项式的线性组合。以下是如何推导勒让德多项式展开系数 a n a_n an 的详细过程。
1. 勒让德展开的基本假设
给定一个函数 f ( x ) f(x) f(x)，我们希望将它表示为勒让德多项式的线性组合：
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n P n ( x ) , f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n P_n(x), f(x)=n=0∑∞anPn(x),
其中 P n ( x ) P_n(x) Pn(x) 是第 n n n 阶勒让德多项式， a n a_n an 是对应的展开系数。
我们的目标是找到每个 a n a_n an 的值。为了做到这一点，我们将利用勒让德多项式的 正交性。
2. 勒让德多项式的正交性
勒让德多项式在区间 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1] 上满足正交性关系：
∫ − 1 1 P n ( x ) P m ( x ) d x = 0 , 当 n ≠ m . \int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x) dx = 0, \quad \text{当} \, n \neq m. ∫−11Pn(x)Pm(x)dx=0,当n=m.
这意味着如果 n ≠ m n \neq m n=m，那么 P n ( x ) P_n(x) Pn(x) 和 P m ( x ) P_m(x) Pm(x) 的内积为零。
当 n = m n = m n=m 时，有：
∫ − 1 1 P n ( x ) 2 d x = 2 2 n + 1 . \int_{-1}^{1} P_n(x)^2 dx = \frac{2}{2n+1}. ∫−11Pn(x)2dx=2n+12.
3. 推导勒让德展开系数 a n a_n an
为了推导勒让德展开系数 a n a_n an，我们可以按照以下步骤进行：
步骤 1：将函数 f ( x ) f(x) f(x) 表示为勒让德多项式的线性组合
假设函数 f ( x ) f(x) f(x) 可以表示为勒让德多项式的展开：
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n P n ( x ) . f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n P_n(x). f(x)=n=0∑∞anPn(x).
我们需要找到每个 a n a_n an 的值。
步骤 2：将方程两边乘以 P n ( x ) P_n(x) Pn(x) 并积分
为了提取每个勒让德多项式的系数 a n a_n an，我们将方程两边乘以 P n ( x ) P_n(x) Pn(x)，然后在区间 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1] 上对 x x x 进行积分：
∫ − 1 1 f ( x ) P n ( x ) d x = ∫ − 1 1 ( ∑ m = 0 ∞ a m P m ( x ) ) P n ( x ) d x . \int_{-1}^{1} f(x) P_n(x) dx = \int_{-1}^{1} \left( \sum_{m=0}^{\infty} a_m P_m(x) \right) P_n(x) dx. ∫−11f(x)Pn(x)dx=∫−11(m=0∑∞amPm(x))Pn(x)dx.
这里我们对 f ( x ) f(x) f(x) 乘上了勒让德多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn(x) 并积分。
步骤 3：利用勒让德多项式的正交性
根据勒让德多项式的正交性，上述右侧的积分可以简化为：
∫ − 1 1 f ( x ) P n ( x ) d x = a n ∫ − 1 1 P n ( x ) 2 d x . \int_{-1}^{1} f(x) P_n(x) dx = a_n \int_{-1}^{1} P_n(x)^2 dx. ∫−11f(x)Pn(x)dx=an∫−11Pn(x)2dx.
由于正交性，所有 m ≠ n m \neq n m=n 的项都为零，留下的只有 m = n m = n m=n 的那一项。
步骤 4：使用勒让德多项式的归一化公式
勒让德多项式的归一化公式为：
∫ − 1 1 P n ( x ) 2 d x = 2 2 n + 1 . \int_{-1}^{1} P_n(x)^2 dx = \frac{2}{2n+1}. ∫−11Pn(x)2dx=2n+12.
因此，我们可以得到：
∫ − 1 1 f ( x ) P n ( x ) d x = a n ⋅ 2 2 n + 1 . \int_{-1}^{1} f(x) P_n(x) dx = a_n \cdot \frac{2}{2n+1}. ∫−11f(x)Pn(x)dx=an⋅2n+12.
步骤 5：解出勒让德系数 a n a_n an
通过将上式除以 2 2 n + 1 \frac{2}{2n+1} 2n+12，我们可以得到勒让德系数 a n a_n an：
a n = 2 n + 1 2 ∫ − 1 1 f ( x ) P n ( x ) d x . a_n = \frac{2n+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_n(x) dx. an=22n+1∫−11f(x)Pn(x)dx.
4. 实例：计算 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2 的勒让德展开
让我们通过具体函数 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2 来展示如何计算勒让德展开系数。
计算 a 0 a_0 a0
根据公式：
a 0 = 2 ( 0 ) + 1 2 ∫ − 1 1 x 2 P 0 ( x ) d x = 1 2 ∫ − 1 1 x 2 ⋅ 1 d x . a_0 = \frac{2(0)+1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 P_0(x) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 \cdot 1 \, dx. a0=22(0)+1∫−11x2P0(x)dx=21∫−11x2⋅1dx.
计算该积分：
a 0 = 1 2 ∫ − 1 1 x 2 d x = 1 2 [ x 3 3 ] − 1 1 = 1 2 ⋅ 2 3 = 1 3 . a_0 = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}. a0=21∫−11x2dx=21[3x3]−11=21⋅32=31.
计算 a 1 a_1 a1
根据公式：
a 1 = 2 ( 1 ) + 1 2 ∫ − 1 1 x 2 P 1 ( x ) d x = 3 2 ∫ − 1 1 x 2 ⋅ x d x . a_1 = \frac{2(1)+1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 P_1(x) dx = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1} x^2 \cdot x \, dx. a1=22(1)+1∫−11x2P1(x)dx=23∫−11x2⋅xdx.
计算该积分：
a 1 = 3 2 ∫ − 1 1 x 3 d x = 3 2 [ x 4 4 ] − 1 1 = 0. a_1 = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1} x^3 dx = \frac{3}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{1} = 0. a1=23∫−11x3dx=23[4x4]−11=0.
由于 x 3 x^3 x3 是奇函数，积分为 0。
计算 a 2 a_2 a2
根据公式：
a 2 = 2 ( 2 ) + 1 2 ∫ − 1 1 x 2 P 2 ( x ) d x = 5 2 ∫ − 1 1 x 2 ⋅ 1 2 ( 3 x 2 − 1 ) d x . a_2 = \frac{2(2)+1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 P_2(x) dx = \frac{5}{2} \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \, dx. a2=22(2)+1∫−11x2P2(x)dx=25∫−11x2⋅21(3x2−1)dx.
我们将积分展开：
a 2 = 5 2 ⋅ 1 2 ∫ − 1 1 ( 3 x 4 − x 2 ) d x = 5 4 ( 3 ∫ − 1 1 x 4 d x − ∫ − 1 1 x 2 d x ) . a_2 = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} (3x^4 - x^2) \, dx = \frac{5}{4} \left( 3 \int_{-1}^{1} x^4 dx - \int_{-1}^{1} x^2 dx \right). a2=25⋅21∫−11(3x4−x2)dx=45(3∫−11x4dx−∫−11x2dx).
计算两个积分：
∫ − 1 1 x 4 d x = [ x 5 5 ] − 1 1 = 2 5 , ∫ − 1 1 x 2 d x = 2 3 . \int_{-1}^{1} x^4 dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]{-1}^{1} = \frac{2}{5}, \quad \int{-1}^{1} x^2 dx = \frac{2}{3}. ∫−11x4dx=[5x5]−11=52,∫−11x2dx=32.
因此：
a 2 = 5 4 ( 3 ⋅ 2 5 − 2 3 ) = 5 4 ( 6 5 − 2 3 ) = 5 4 ⋅ 8 15 = 2 3 . a_2 = \frac{5}{4} \left( 3 \cdot \frac{2}{5} - \frac{2}{3} \right) = \frac{5}{4} \left( \frac{6}{5} - \frac{2}{3} \right) = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{15} = \frac{2}{3}. a2=45(3⋅52−32)=45(56−32)=45⋅158=32.
5. 总结
通过详细的推导，我们得到了函数 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2 在勒让德多项式基底上的展开系数：
- a 0 = 1 3 a_0 = \frac{1}{3} a0=31
- a 1 = 0 a_1 = 0 a1=0
- a 2 = 2 3 a_2 = \frac{2}{3} a2=32
因此，函数 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f(x)=x2 可以表示为勒让德多项式的线性组合：
f ( x ) = 1 3 P 0 ( x ) + 2 3 P 2 ( x ) . f(x) = \frac{1}{3} P_0(x) + \frac{2}{3} P_2(x). f(x)=31P0(x)+32P2(x).
代入勒让德多项式的具体表达式：
f ( x ) = 1 3 ⋅ 1 + 2 3 ⋅ 1 2 ( 3 x 2 − 1 ) = x 2 . f(x) = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(3x^2 - 1) = x^2. f(x)=31⋅1+32⋅21(3x2−1)=x2.
这个过程展示了如何利用勒让德多项式的正交性来计算展开系数，并将函数表示为勒让德多项式的线性组合。