【抱歉又鸽了那么久......因为这两个月太多事忙了，实在抱歉。
今后会尽量每个月稳定更4篇以上。】
定理3：设G是一个群，而H是G的非空有限子集，则 H ≤ G 当且仅当 对任意的a,b∈H，有a o b∈H。
证：必要性显然是成立的，若H ≤ G，则由子群的第一判定定理，对任意的a,b∈H，都有a o b∈H。
下证充分性：①因为对任意的a,b∈H，都有a o b∈H，所以满足了群公理的第一条；
②因为H是G的子集，其元素以及运算规律都能从群G中继承，因此H中元素的代数运算也适合结合律和消去律，这就满足了群公理的第二和第三条。
因此，根据群的第三判定定理【见专栏第11篇文章】，H关于G的乘法作成群，即H ≤ G。
定理4：
（1）在Sn中，奇偶置换各占一半，即|An| = |Sn|/2 = n!/2。
（2）An ≤ Sn（An为n次交错群）。
（证明暂略）
定理5：
设G是一个群，S是G的一个非空子集，则：
(S) = {a^m o b^n o ...... o c^k | a,b,...,c ∈ S，m,n,k∈Z}
是G的一个子群，且包含S的最小子群（称为S的生成子群）。
证：（1）任意 a1^m o b1^n o ...... o c1^k,a2^m o b2^n o ...... o c2^k∈(S)，
①(a1^m o b1^n o ...... o c1^k) o (a2^m o b2^n o ...... o c2^k)
= a1^m o b1^n o ...... o c1^k o a2^m o b2^n o ...... o c2^k ∈ (S)（因为a1,b1,...,c2∈S，m,n,...,k∈Z）；
②且当m = n = ...... = k = 0时，(a1^m o b1^n o ...... o c1^k) o (a2^m o b2^n o ...... o c2^k) = (a1^0 o b1^0 o ...... o c1^0) o (a2^0 o b2^0 o ...... o c2^0) = (e o e o ... o e) o (e o e o ... o e) = e o e = e，
其中e为G中的单位元，因此e∈(S)，且1^m o b1^n o ...... o c1^k与a2^m o b2^n o ...... o c2^k互为逆元。
综上所述，由子群的第一判定定理，可得 (S) ≤ G。
（2）设G1是包含S的一个子群，任意的a^m o b^n o ...... o c^k∈(S)，由于G1包含S，所以a,b,,..,c∈G1，因此由群的封闭性，可得a^m o b^n o ...... o c^k∈G1，所以(S)⊂G1。
例：在S3中，求下列子集的生成子群。
（1）S = {(1)}；
（2）S = {(12)}；
（3）S = {(12),(123)}；
（4）S = {(13),(132)}。
解：（1）因S中只含有(1)一个元素，因此对任意的正整数m,n,...,z，都有(1)^m o (1)^n o ... o (1)^z = (1)，所以S的生成子群为它本身，即为{(1)}。
（2）当a为奇数，(12)^a = (12)；当a为偶数，(12)^a = (1)，
因此对任意的正整数m,n,...,z，当m+n+...+z的值为奇数时，(12)^m o (12)^n o ... o (12)^z = (12)^(m+n+...+z) = (12)；当m+n+...+z的值为偶数时，(12)^m o (12)^n o ... o (12)^z = (12)^(m+n+...+z) = (1)；
因此S的生成子群为{(1),(12)}。
（3）由（2）知(12)的奇数次幂为(12)，偶数次幂为(1)；而(123)^1 = (123),(123)^2 = (132),(123)^3 = (1)；(12) o (123) = (23),(12) o (132) = (13)，
因此不管(12),(123)两个元素如何组合，都只能生成(1),(123),(132),(12),(13),(23)这六个元素，
所以S的生成子群为{(1),(123),(132),(12),(13),(23)} = S3。
（4）证明类似（3），S的生成子群也是S3本身。
（待续......）