数学建模——Box-Cox变换

用途：当某个随机变量 X X X 不服从正态分布的时候，可以尝试通过这种变换将其变成正态分布。

两个常用的变换

对数变换：已知随机变量 X X X，如果有 ln ⁡ X ∼ N ( μ , σ 2 ) \ln X\sim N(\mu,\sigma^2) lnX∼N(μ,σ2)，那么对 X X X 使用对数变换。适合随着自变量的增加，因变量的方差也增大的模型。
平方根变换：已知随机变量 X X X，如果有 X ∼ N ( μ , σ 2 ) \sqrt X\sim N(\mu,\sigma^2) X ∼N(μ,σ2)，那么对 X X X 使用平方根变换。适合服从Poission分布的计数资料，或轻度偏态资料。

Box-Cox 变换简介

Box-Cox变换的基本思想是通过对数据进行一定的变换，使得变换后的数据更加符合正态分布的特征。这种变换是一种幂函数变换，其公式如下：
y ~ = { y λ − 1 λ , λ ≠ 0 ln ⁡ y , λ = 0 \tilde{y}=\left \{{\begin{matrix}\cfrac{{{y}^{\lambda }}-1}{\lambda },&\lambda \ne 0\\\ln{y},&\lambda =0\end{matrix}}\right . y~=⎩ ⎨ ⎧λyλ−1,lny,λ=0λ=0

将原数据 y y y 变为大致服从正态分布的 y ~ \tilde y y~。Box-Cox 变换可以很好地根据一组随机变量 X X X 的观测值，构造出一个服从正态分布的变量 X ~ \tilde X X~，从而能够根据这个正态分布进行一些数据分析。传统的 Fitter 库给出的最佳拟合可能是一些从来没有见过的分布函数。

注意上式只适合非负数 ，如果存在负数，需要将 y y y 加上一个偏移量后再进行 Box-Cox 变换。

对数变换是 λ = 0 \lambda =0 λ=0 的 Box-Cox 变换，平方根变换是 λ = 1 / 2 \lambda=1/2 λ=1/2 的 Box-Cox 变换。

代码实例

python 复制代码

from scipy.stats import boxcox
# 下面这个库也含有 boxcox 变换方法，但是这个库的 boxcox 需要自行提供 λ。而 scipy.stats.boxcox 可以通过极大似然等方法自行计算 λ。
# from scipy.special import boxcox

from scipy.special import inv_boxcox
import numpy as np

np.random.seed(114514)
# F 分布有点偏态正态分布的意思，生成一组 F 分布数据
x = np.random.f(dfnum=3, dfden=10, size=10000)

# box-cox 正变换
y, lambda_ = boxcox(x, lmbda=None, alpha=None)
print(lambda_)
# 0.1678598919247737

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['font.family'] = 'Euclid'
plt.subplot(121)
sns.distplot(x)
plt.title('Origin')
plt.subplot(122)
sns.distplot(y)
plt.title('Transformed')
plt.show()

# 这是反变换，经验证和之前的 x 是一样的
x = inv_boxcox(y, lambda_)

做出来图片如下。

参考文献

下面的资料对 Box-Cox 变换有深入的介绍：