线性基可以用一个长度为$ \log_2N $的数组描述值域[1,N]，0的情况需要特判。
- 一个长度为
64的线性基可以描述所有的64位整数。
在2024年CCPC网络赛中，考到了线性基。没学过，追悔莫及。
原题需要在不污染高位的情况下，找到尽可能最优的二进制串修改低位，使得两个二进制串的最大值最小。
处理这种找最优串的问题，我能想到的只有字典树，而字典树在本题中非常乏力：会污染高位，必须要在O(1)的时间内找到最优串。
线性基模板的函数包括：
void ins(int x)：向线性基数组中插入xbool check(int x)：判断x是否可以由线性基构造int qmin()：查询当前线性基可以构造的最小值int qmax()：查询当前线性基可以构造的最大值void rebuild()：重构线性基，使得每一位尽可能少地影响其它位int kth(int k)：查询线性基可以构造的第k小的数int qrank(int x)：查询x是线性基可以构造的第几小的数
全局变量包括：
const int MN=64：线性基数组的长度int p[MN]：存储线性基int d[MN]：存储有效势，也就是数组p[]中的非0值int cnt：线性基的维数、势、元素个数，同时为d[]的有效长度
线性基数组的第i in [0,MN-1]位，表示的是，最高位是第i位的01串。
- 当想要构造一个第
i位是1的串时，可以异或，线性基数组的第i位。
在插入和查询时，从高位向低位枚举，因为高位的势会影响低位，对低位造成的影响在枚举到低位时，由低位的势处理。
线性基板子
talk is cheap show me the code：
cpp
#define int long long
using namespace std;
const int MN=64;
int p[MN],d[MN],cnt;
void ins(int x) {
for(int i=MN-1; i>=0; i--) {
if(x>>i&1) {
if(p[i])x^=p[i];
else {
p[i]=x;
return;
}
}
}
}
bool check(int x) {
for(int i=MN-1; i>=0; i--) {
if(x>>i&1) {
if(p[i])x^=p[i];
else return false;
}
}
return true;
}
int qmin() {
for(int i=0; i<MN-1; i++) {
if(p[i])return p[i];
}
return 0;
}
int qmax() {
int res=0;
for(int i=MN-1; i>=0; i--) {
res=max(res,res^p[i]);
}
return res;
}
void rebuild() {
cnt=0;
for(int i=MN-1; i>=0; i--)
for(int j=i-1; j>=0; j--)
if(p[i]&1ll<<j)
p[i]^=p[j];
for(int i=0; i<MN; i++)
if(p[i])d[cnt++]=p[i];
}
int kth(int k) {
if(k>=1ll<<cnt)return -1;
int ans=0;
for(int i=MN-1; i>=0; i--)
if(k>>i&1)ans^=d[i];
return ans;
}
int qrank(int x) {
int ans=0;
for(int i=cnt-1; i>=0; i--) {
if(x>=d[i]) {
ans+=1<<i;
x^=d[i];
}
}
return ans;
}AC代码
赛后补题，WA10😭：
WA的原因包括：
- 插入线性基忘了return
- 没关闭流同步超时
- 用(a&1<<i)==1判1
- 第一个无法抹掉的1有两种可能，需要封装函数