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一、并查集原理
在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-find set)。
比如：某公司今年校招全国总共招生10人，西安招4人，成都招3人，武汉招3人，10个人来自不同的学校，起先互不相识，每个学生都是一个独立的小团体，现给这些学生进行编号：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 给以下数组用来存储该小集体，数组中的数字代表：该小集体中具有成员的个数。(负号下文解释)
毕业后，学生们要去公司上班，每个地方的学生自发组织成小分队一起上路，于是：西安学生小分队s1={0,6,7,8}，成都学生小分队s2={1,4,9}，武汉学生小分队s3={2,3,5}就相互认识了，10个人形成了三个小团体。假设右三个群主0,1,2担任队长，负责大家的出行。
一趟火车之旅后，每个小分队成员就互相熟悉，称为了一个朋友圈。
从上图可以看出：编号6,7,8同学属于0号小分队，该小分队中有4人(包含队长0)；编号为4和9的同学属于1号小分队，该小分队有3人(包含队长1)，编号为3和5的同学属于2号小分队，该小分队有3个人(包含队长1)。
仔细观察数组中内融化，可以得出以下结论：
1.数组的下标对应集合中元素的编号
2.数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数
3.数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标
在公司工作一段时间后，西安小分队中8号同学与成都小分队1号同学奇迹般的走到了一起，两个小圈子的学生相互介绍，最后成为了一个小圈子：
现在0集合有7个人，2集合有3个人，总共两个朋友圈。
并查集的特点：
1、一个位置值是负数，那他就是树的根，这个负数绝对值就是这颗树数据个数。
2、一个位置值是正数，那他就是双亲的下标
通过以上例子可知，并查集一般可以解决一下问题：
1.查找元素属于哪个集合
沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)
2.查看两个元素是否属于同一个集合
沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在
3.将两个集合归并成一个集合
将两个集合中的元素合并
将一个集合名称改成另一个集合的名称
4.集合的个数
遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。
二、并查集实现
cpp
class UnionFindSet
{
private:
std::vector<int> _set;
public:
UnionFindSet(int n) : _set(n, -1) {}
// 查找根节点
int FindRoot(int x)
{
int root = x;
while (_set[root] >= 0)
{
root = _set[root];
}
// 路径压缩
while (_set[x] >= 0)
{
int parent = _set[x];
_set[x] = root;
x = parent;
}
return root;
}
bool InSet(int x1, int x2)
{
return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);
}
// 合并
void Union(int x1, int x2)
{
int root1 = FindRoot(x1);
int root2 = FindRoot(x2);
// 如果本身就在一个集合就没必要合并了
if (root1 == root2)
{
return;
}
// 控制数据量小的往大的集合合并
if (abs(_set[root1]) > abs(_set[root2]))
{
std::swap(root1, root2);
}
_set[root1] += _set[root2];
_set[root2] = root1;
}
// 返回根的数量
size_t SetSize()
{
int count = 0;
for (auto x : _set)
{
if (x < 0)
{
count++;
}
}
return count;
}
};我们这里在查找根节点的时候可以进行路径的压缩,比如当前这棵树需要更新为另一个根的孩子，那么在查找根的时候，我们可以将路径上的节点的根节点置为根的孩子，这样后面再查找这些节点的根节点的时候就会很快，树的高低也可以降低。
我们在合并节点的时候，控制数据量小的往大的集合合并，这样也可以降低树的高度，后面在查找节点的根的时候就会变得更快，因为需要经过的节点个数更少
三、并查集应用
这道题的思路为：将相连的省份进行合并，放入并查集中，然后在遍历并查集返回根节点的数量即可，代码如下：
cpp
class Solution {
public:
int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected)
{
int n = isConnected.size();
// 并查集
vector<int> ufs(n,-1);
auto FindRoot = [&](int x) -> int
{
while(ufs[x] >= 0)
x = ufs[x];
return x;
};
for(int i = 0;i<n;i++)
{
for(int j = 0;j < n;j++)
{
if(isConnected[i][j] == 1)
{
int root1 = FindRoot(i);
int root2 = FindRoot(j);
if(root1 != root2)
{
ufs[root1] += ufs[root2];
ufs[root2] = root1;
}
}
}
}
int ret = 0;
for(auto x : ufs)
{
if(x < 0)
ret++;
}
return ret;
}
};解题思路：
1.将所有"=="两端的字符合并到一个集合中
2.检测"!=" 两端的字符是否在同一个结合中，如果在不满足，如果不在满足
cpp
class Solution
{
public:
bool equationsPossible(vector<string>& equations)
{
vector<int> ufs(26,-1);
auto findRoot = [&ufs](int x) -> int
{
while(ufs[x] >= 0)
{
x = ufs[x];
}
return x;
};
// 第一遍，先把相等的值加到一个集合中
for(auto &str : equations)
{
if(str[1] == '=')
{
int root1 = findRoot(str[0]-'a');
int root2 = findRoot(str[3]-'a');
if(root1 != root2)
{
ufs[root1] += ufs[root2];
ufs[root2] = root1;
}
}
}
// 如果不相等的在一个集合中,则返回false
for(auto &str : equations)
{
if(str[1] == '!')
{
int root1 = findRoot(str[0]-'a');
int root2 = findRoot(str[3]-'a');
if(root1 == root2)
{
return false;
}
}
}
return true;
}
};Root(str[0]-'a');
int root2 = findRoot(str[3]-'a');
if(root1 == root2)
{
return false;
}
}
}
return true;
}
};