P6149 [USACO20FEB] Triangles S题解

P6149 [USACO20FEB] Triangles S

[USACO20FEB] Triangles S

题目描述

Farmer John 想要给他的奶牛们建造一个三角形牧场。

有 N N N（ 3 ≤ N ≤ 1 0 5 3\leq N\leq 10^5 3≤N≤105）个栅栏柱子分别位于农场的二维平面上不同的点 ( X 1 , Y 1 ) ... ( X N , Y N ) (X_1,Y_1)\ldots (X_N,Y_N) (X1,Y1)...(XN,YN)。他可以选择其中三个点组成三角形牧场，只要三角形有一条边与 x x x 轴平行，且有另一条边与 y y y 轴平行。

FJ 可以组成的所有可能的牧场的面积之和等于多少？

输入格式

第一行包含 N N N。

以下 N N N 行每行包含两个整数 X i X_i Xi 和 Y i Y_i Yi，均在范围 − 1 0 4 ... 1 0 4 −10^4\ldots 10^4 −104...104 之内，描述一个栅栏柱子的位置。

输出格式

由于面积之和不一定为整数且可能非常大，输出面积之和的两倍模 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7 的余数。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

样例解释：

栅栏木桩 ( 0 , 0 0,0 0,0)、( 1 , 0 1,0 1,0) 和 ( 1 , 2 1,2 1,2) 组成了一个面积为 1 1 1 的三角形，( 0 , 0 0,0 0,0)、( 1 , 0 1,0 1,0) 和 ( 0 , 1 0,1 0,1) 组成了一个面积为 0.5 0.5 0.5 的三角形。所以答案为 2 × ( 1 + 0.5 ) = 3 2\times (1+0.5)=3 2×(1+0.5)=3。

子任务：

测试点 2 2 2 满足 N = 200 N=200 N=200。
测试点 3 3 3- 4 4 4 满足 N ≤ 5000 N\leq 5000 N≤5000。
测试点 5 5 5- 10 10 10 没有额外限制。

题解

首先考虑只统计直角顶点在右上角的三角形。

对于每个点，它的贡献是它正左边的点到该点的长度和乘以正下方的点到该点的长度和。

对于所有的点，按照 X X X为第一关键字, Y Y Y为第二关键字排序。

对于左边的点，开一个桶统计总数。对于下边的点同理。

那么对于直角顶点不在右上角的三角形呢？

我们只用将所有的点绕原点旋转 90 ° 90° 90°后再统计即可，总共旋转三次

时间复杂度 O ( N ) O(N) O(N)

AC代码

cpp 复制代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 100005
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int n;
struct node{
	int x,y;
	bool operator<(const node o)const{
		if(x^o.x)return x<o.x;
		return y<o.y;
	}
}a[N];
typedef long long ll;
ll ans=0;const ll P = 1000000007LL;const int bas = 10007;
ll sum[N],cnt[N];
void solve(){
	sort(a+1,a+n+1);
	memset(sum,0,sizeof(sum));
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	ll now = 0,tot = 0 ;
	rep( i , 1 , n ){
		if(a[i].x != a[i-1].x )now = 0 ,tot = 0 ;
		ans=(ans + ( a[i].x * cnt[a[i].y + bas] - sum[ a[i].y + bas ] )
		    % P * ( a[i].y * tot - now ) % P ) % P;
		tot++;now=(now+a[i].y)%P;
		cnt[a[i].y+bas]++;
		sum[a[i].y+bas]=(a[i].x+sum[a[i].y+bas])%P;
	}
}
void rev(){
	rep(i,1,n){
		int x=a[i].x,y=a[i].y;
		a[i].x=y;a[i].y=-x;
	}
}
int main(int argc, const char * argv[]){
	scanf("%d",&n);
	rep(i,1,n)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
	rep(i,0,3){
		solve();rev();
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}
//Written by Kevin ☑