线性代数(宋浩版)(4)

2.4逆矩阵

(不要把矩阵放在分母上)

方阵的行列式
性质1
性质2
性质3
伴随矩阵(只有方阵才有)

1.求出所有元素的代数余子式(矩阵先求行列式)。

2.按行求的代数余子式按列放。

定理1(重要)
定理2

|A|不等于0,|A*|=|A|n-1

(以后可以证明无论是否A的行列式等于零,该定理都成立)

注:所有方阵都拥有伴随矩阵。

逆矩阵定义(前提必须是方阵)

A是n阶方阵,存在n阶方阵B,AB=BA=E,记作A-1=B

(1)未必所有方阵均可逆。

比如0矩阵就不可逆,因为0矩阵乘其他任何矩阵都为0矩阵

(2)若一个方阵可逆,则其逆矩阵唯一。

逆矩阵的前提
*定理3

A可逆的充要条件是**|A|不等于0(且A为方阵)**,A-1=1/|A|A*

推论

A为n阶方阵,B为n阶方阵,AB=E/BA=E(证明一个即可),则A可逆,A-1=B

伴随矩阵法(计算量大)
*初等变换法(初等变换法的解法在后面,该题使用的方法并不是初等变换法。)
矩阵方程

注:1.方程中的公因子提出的时候,要保证方向一致。

2.矩阵和数之间没法进行运算,所以当矩阵减一个数或者是加一个数的时候,嗯,要给那个数乘上E单位矩阵。(一般是不会直接对数进行加减的,这里指的数是指把公因子提完之后剩下的数字。)

3.矩阵不能放在分母上。

4.使用逆矩阵前先判断是否可逆。

性质4

A矩阵可逆, A的逆矩阵就可逆。 A的逆矩阵的逆矩阵等于A。

性质5

A,B均可逆,AB也可逆。

性质6

如果a可逆,那么a的转置也可逆,并且a的转置的逆矩阵等于a的逆矩阵的转置。(后面还有一个k的)

性质7

如果a可逆,AD的行列式等于 a的行列式的-1次方。

性质8

A可逆a的伴随矩阵也可逆且a的伴随矩阵的逆矩阵等于 a的行列式/1乘a。

2.5分块矩阵

标准型

从左上角开始的一串1(不断),其余的地方都是0;(标准型不一定是方阵)

分块

分块加法
数乘
乘法

前提分块条件要使Ai能与Bj块相乘

转置

1.把子块视作普通元素求转置。

2.对每个子块求转置

推论(A,B可逆)
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