蚁群算法（ACO算法）求解实例---旅行商问题 (TSP)

[一、采用ACO求解 TSP](#一、采用ACO求解 TSP)
[二、旅行商问题](#二、旅行商问题)
- [2.1 实际例子：求解 6 个城市的 TSP](#2.1 实际例子：求解 6 个城市的 TSP)
- [2.2 ==**求解该问题的代码**==](#2.2 ==求解该问题的代码==)
- [2.3 代码运行过程截屏](#2.3 代码运行过程截屏)
- [2.4 代码运行结果截屏（后续和其他算法进行对比）](#2.4 代码运行结果截屏（后续和其他算法进行对比）)
[三、 ==如何修改代码？==](#三、 ==如何修改代码？==)
- [3.1 减少城市坐标，如下：](#3.1 减少城市坐标，如下：)
- [3.2 增加城市坐标，如下：](#3.2 增加城市坐标，如下：)
[四、蚁群算法 (Ant Colony Optimization, ACO) 原理](#四、蚁群算法 (Ant Colony Optimization, ACO) 原理)
- [4.1 ACO算法定义](#4.1 ACO算法定义)
- [4.2 ACO算法的基本思想](#4.2 ACO算法的基本思想)
- [4.3 ACO算法的工作原理](#4.3 ACO算法的工作原理)
- [4.4 ACO算法的参数](#4.4 ACO算法的参数)
- [4.5 ACO算法的优缺点](#4.5 ACO算法的优缺点)
- - [4.5.1 优点](#4.5.1 优点)
  - [4.5.2 缺点](#4.5.2 缺点)
- [4.6 ACO算法的应用场景](#4.6 ACO算法的应用场景)

一、采用ACO求解 TSP

求解代码在文中，后续会出其他算法求解TSP问题，你们参加数学建模竞赛只需要会改代码即可。
用来对比此专栏的
遗传算法（GA算法）求解实例---旅行商问题 (TSP)
粒子群算法（PSO算法）求解实例---旅行商问题 (TSP)
模拟退火算法（SA算法）求解实例---旅行商问题 (TSP)
注意每次运行SA算法得到的结果可能不太一样。
我知道大家对原理性的东西不感兴趣，我把原理性的东西放在后面，大家如果需要写数模论文可以拿去，但是记得需要改一改，要不然查重过不去。

二、旅行商问题

2.1 实际例子：求解 6 个城市的 TSP

假设有 6 个城市，其坐标如下：

城市	X 坐标	Y 坐标
0	10	20
1	30	40
2	20	10
3	40	30
4	10	10
5	50	20

目标是找到一个经过所有城市且总距离最短的路径。

2.2 求解该问题的代码

python 复制代码

import numpy as np
import random

# 定义城市坐标
cities = np.array([
    [10, 20],
    [30, 40],
    [20, 10],
    [40, 30],
    [10, 10],
    [50, 20]
])


# 计算两城市之间的欧几里得距离
def calculate_distance(city1, city2):
    return np.sqrt(np.sum((city1 - city2) ** 2))


# 计算所有城市之间的距离矩阵
def calculate_distance_matrix(cities):
    num_cities = len(cities)
    distance_matrix = np.zeros((num_cities, num_cities))
    for i in range(num_cities):
        for j in range(num_cities):
            if i != j:
                distance_matrix[i][j] = calculate_distance(cities[i], cities[j])
    return distance_matrix


# 蚁群算法主函数
def ant_colony_optimization(cities, num_ants=10, num_iterations=100, alpha=1.0, beta=2.0, evaporation_rate=0.5, Q=100):
    num_cities = len(cities)
    distance_matrix = calculate_distance_matrix(cities)

    # 初始化信息素矩阵
    pheromone_matrix = np.ones((num_cities, num_cities))

    # 存储最佳路径和最短距离
    best_path = None
    best_distance = float('inf')

    for iteration in range(num_iterations):
        all_paths = []
        all_distances = []

        # 每只蚂蚁构建一条路径
        for ant in range(num_ants):
            # 随机选择起始城市
            current_city = random.randint(0, num_cities - 1)
            path = [current_city]
            visited = set(path)

            # 构建路径
            for _ in range(num_cities - 1):
                probabilities = []
                for next_city in range(num_cities):
                    if next_city not in visited:
                        pheromone = pheromone_matrix[current_city][next_city] ** alpha
                        visibility = (1.0 / distance_matrix[current_city][next_city]) ** beta
                        probabilities.append((next_city, pheromone * visibility))

                # 选择下一个城市
                next_city = random.choices(
                    [city for city, _ in probabilities],
                    [prob for _, prob in probabilities]
                )[0]

                path.append(next_city)
                visited.add(next_city)
                current_city = next_city

            # 计算路径距离并存储
            path_distance = sum(distance_matrix[path[i], path[i + 1]] for i in range(num_cities - 1))
            path_distance += distance_matrix[path[-1], path[0]]  # 回到起点
            all_paths.append(path)
            all_distances.append(path_distance)

            # 更新全局最优路径
            if path_distance < best_distance:
                best_distance = path_distance
                best_path = path

        # 更新信息素矩阵
        pheromone_matrix *= (1 - evaporation_rate)
        for path, distance in zip(all_paths, all_distances):
            for i in range(num_cities - 1):
                pheromone_matrix[path[i]][path[i + 1]] += Q / distance
            pheromone_matrix[path[-1]][path[0]] += Q / distance

        print(f"Iteration {iteration + 1}: Best distance = {best_distance:.2f}")

    return best_path, best_distance


# 运行蚁群算法
best_path, best_distance = ant_colony_optimization(cities)
print("Best path:", best_path)
print("Best distance:", best_distance)

2.3 代码运行过程截屏

2.4 代码运行结果截屏（后续和其他算法进行对比）

三、如何修改代码？

这一部分是重中之重，大家参加数学建模肯定是想跑出自己的结果，所以大家只需要把自己遇到的数学问题，抽象成TSP问题，然后修改代码的城市坐标，然后运行即可。

python 复制代码

# 定义城市坐标
cities = np.array([
    [10, 20],
    [30, 40],
    [20, 10],
    [40, 30],
    [10, 10],
    [50, 20]
])

3.1 减少城市坐标，如下：

python 复制代码

# 定义城市坐标
cities = np.array([
    [10, 20],
    [30, 40],
    [20, 10],
    [40, 30]
])

3.2 增加城市坐标，如下：

python 复制代码

# 定义城市坐标
cities = np.array([
    [10, 20],
    [30, 40],
    [20, 10],
    [40, 30],
    [30, 40],
    [20, 10],
    [10, 10],
    [50, 20]
])

四、蚁群算法 (Ant Colony Optimization, ACO) 原理

4.1 ACO算法定义

蚁群算法 (Ant Colony Optimization, ACO) 是一种基于群体智能的优化算法，由 Marco Dorigo 于 1992 年提出。蚁群算法模拟了自然界中蚂蚁群体寻找最短路径的行为，利用蚂蚁在行走过程中留下的信息素来引导后续蚂蚁选择路径。通过不断迭代和信息素更新，算法逐渐找到问题的最优解或近似最优解。ACO 主要用于求解组合优化问题，如旅行商问题 (TSP)、背包问题、车辆路径问题等。

4.2 ACO算法的基本思想

蚁群算法的核心思想是利用信息素 (Pheromone) 的正反馈机制来逐步优化解。蚂蚁在行走过程中会释放信息素，信息素的浓度与路径的质量（通常是路径的长度或花费的时间）有关。路径越短，信息素越浓，后续蚂蚁选择该路径的概率就越高。这种机制可以通过多次迭代不断强化优质路径，逐渐逼近最优解。

4.3 ACO算法的工作原理

初始化：
- 在图的每条边上初始化一个较小的信息素值，表示蚂蚁可以选择的路径。
- 设置蚂蚁数量、最大迭代次数、信息素挥发系数、信息素重要性因子 α 和启发信息重要性因子 β 等参数。
蚂蚁构建解：
- 每只蚂蚁从随机选择的起始节点出发，按照一定的概率规则选择下一个节点（城市）。
- 选择下一个节点的概率 P_{ij} 由信息素浓度和启发信息共同决定：
  P i j = ( τ i j ) α ⋅ ( η i j ) β ∑ k ∈ allowed ( τ i k ) α ⋅ ( η i k ) β P_{ij} = \frac{(\tau_{ij})^\alpha \cdot (\eta_{ij})^\beta}{\sum_{k \in \text{allowed}} (\tau_{ik})^\alpha \cdot (\eta_{ik})^\beta} Pij=∑k∈allowed(τik)α⋅(ηik)β(τij)α⋅(ηij)β
  其中：
  - τ i j \tau_{ij} τij 是节点 i i i 和 j j j 之间的信息素浓度。
  - η i j = 1 d i j \eta_{ij} = \frac{1}{d_{ij}} ηij=dij1是节点 i i i 和 j j j 之间距离的倒数，表示启发信息（距离越短，选择的概率越大）。
  - α \alpha α 和 β \beta β 分别是信息素和启发信息的重要性因子。
路径评估：
- 每只蚂蚁在构建完一条完整路径后，计算路径的总距离（或其他目标函数值）。
信息素更新：
- 信息素挥发 ：为了避免信息素无限积累，所有路径上的信息素会以一定比例挥发：
  τ i j ← ( 1 − ρ ) ⋅ τ i j \tau_{ij} \leftarrow (1 - \rho) \cdot \tau_{ij} τij←(1−ρ)⋅τij
  其中，(\rho) 是信息素挥发系数，取值在 (0, 1) 之间。
- 信息素增量 ：每只蚂蚁根据其找到的路径长度在路径上留下信息素：
  τ i j ← τ i j + ∑ 所有蚂蚁 Δ τ i j k \tau_{ij} \leftarrow \tau_{ij} + \sum_{\text{所有蚂蚁}} \Delta \tau_{ij}^{k} τij←τij+所有蚂蚁∑Δτijk
  其中， Δ τ i j k = Q L k \Delta \tau_{ij}^{k} = \frac{Q}{L^{k}} Δτijk=LkQ， L k L^{k} Lk 是蚂蚁 k k k 找到的路径长度， Q Q Q 是常数。
迭代和终止：
- 重复步骤 2-4，直到达到最大迭代次数或找到满意解。

4.4 ACO算法的参数

蚂蚁数量：每次迭代中构建路径的蚂蚁数量，通常取值与问题规模相关。
信息素重要性因子 (α) ：控制蚂蚁在路径选择时对信息素的依赖程度。α 越大，蚂蚁对已有路径的信息素依赖程度越高。
启发信息重要性因子 (β) ：控制蚂蚁在路径选择时对启发信息（如距离的倒数）的依赖程度。β 越大，蚂蚁对距离的依赖程度越高。
信息素挥发系数 (ρ)：控制信息素的挥发速率。较大的挥发率会使得历史信息素影响较小，有助于探索新路径。
常数 (Q)：用于控制信息素增量的规模，通常根据问题的特点进行设置。

4.5 ACO算法的优缺点

4.5.1 优点

强大的全局搜索能力：ACO 通过多只蚂蚁的并行搜索和信息素的正反馈机制，能够有效避免陷入局部最优解，具有较强的全局搜索能力。
适应性强：算法能够动态调整信息素的分布，自适应地寻找问题的最优解，适用于各种组合优化问题。
易于并行化：每只蚂蚁独立构建解，适合并行计算。

4.5.2 缺点

收敛速度较慢：由于依赖于大量蚂蚁的并行搜索和信息素更新，ACO 的收敛速度相对较慢。
参数敏感：ACO 对参数（如蚂蚁数量、信息素重要性、启发信息重要性等）较为敏感，需要进行调优以获得最佳效果。
计算复杂度高：在大规模问题中，计算复杂度较高，尤其是在信息素更新阶段。

4.6 ACO算法的应用场景

旅行商问题 (TSP)：寻找经过所有城市的最短路径。
车辆路径问题 (VRP)：寻找最优的车辆调度路径。
任务分配和调度：如生产调度、工作车间调度问题等。
网络路由优化：在计算机网络中寻找最优的路由路径。
图像处理：图像分割、边缘检测等。

蚁群算法（ACO算法）求解实例---旅行商问题 (TSP)

目录

一、采用ACO求解 TSP

二、 旅行商问题

2.1 实际例子：求解 6 个城市的 TSP

2.2 求解该问题的代码

2.3 代码运行过程截屏

2.4 代码运行结果截屏（后续和其他算法进行对比）

三、 如何修改代码？

3.1 减少城市坐标，如下：

3.2 增加城市坐标，如下：

四、 蚁群算法 (Ant Colony Optimization, ACO) 原理

4.1 ACO算法定义

4.2 ACO算法的基本思想

4.3 ACO算法的工作原理

4.4 ACO算法的参数

4.5 ACO算法的优缺点

4.5.1 优点

4.5.2 缺点

4.6 ACO算法的应用场景

二、旅行商问题

三、如何修改代码？

四、蚁群算法 (Ant Colony Optimization, ACO) 原理