数据结构——二叉搜索树

二叉搜索树

二叉搜索树

⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树,它或者是⼀棵空树,或者是具有以下性质的⼆叉树:

  • 若它的左⼦树不为空,则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
  • 若它的右⼦树不为空,则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
  • 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
  • ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值,也可以不⽀持插⼊相等的值,具体看使⽤场景定义,后续map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树,其中map/set不⽀持插⼊相等值multimap/multiset⽀持插⼊相等值

⼆叉搜索树的性能分析

  • 最优情况下,⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树),其⾼度为:O(log2 N)
  • 最差情况下,⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀),其⾼度为:O(N/2 )

二叉搜索树(BST)的性能主要依赖于树的形状。以下是其性能的详细分析:

平均性能

查找:O(log N)

插入:O(log N)

删除:O(log N)

这些性能假设树是平衡的,即每个节点的左右子树高度差不超过1。在这种情况下,树的高度大约为 log N,因此操作的时间复杂度为 O(log N)。

最坏性能

查找:O(N)

插入:O(N)

删除:O(N)

在最坏情况下,例如树退化成链表(所有节点只有一个子节点),树的高度变为 N,操作的时间复杂度变为 O(N)。

平衡性对性能的影响

完全二叉树:在这种树中,每一层都被完全填充,性能接近于 O(log N)。

AVL 树:一种自平衡的二叉搜索树,任何时刻保持平衡,因此所有操作都能在 O(log N) 时间内完成。

红黑树:另一种自平衡的二叉搜索树,虽然略逊色于 AVL 树的严格平衡,但仍保证 O(log N) 的操作时间。

操作详解

查找:从根节点开始,按键值与当前节点键值比较决定向左或向右子树移动。这个过程在平衡树中是对数级别的时间复杂度。

插入:查找适当的位置后插入新节点,并可能需要调整树结构(例如,通过旋转)以保持树的平衡。这在自平衡树中通常是对数级别的时间复杂度。

删除:查找并删除节点后,需要调整树结构以保持平衡。删除操作可能涉及节点替换(例如,使用右子树的最小节点替代),并可能需要进行树结构的调整。

二叉搜索树的插入

在二叉搜索树(BST)中插入一个新节点的过程包括以下步骤:

从根节点开始:.

首先,将新节点的键值与当前节点的键值进行比较。

决定插入方向

如果新节点的键值小于当前节点的键值,则移动到当前节点的左子树。

如果新节点的键值大于当前节点的键值,则移动到当前节点的右子树。

递归或迭代插入

如果左子树或右子树为空(即到达一个叶节点的位置),则在该位置插入新节点。

如果左子树或右子树不为空,则递归或迭代执行插入过程,直到找到合适的位置。

更新树结构:插入节点后,树的结构可能需要更新。如果树是自平衡的(如 AVL 树或红黑树),可能需要调整树的平衡性,例如通过旋转操作来维持树的平衡。

示例代码(伪代码)

cpp 复制代码
void insert(Node*& root, int key) {
    if (root == nullptr) {
        root = new Node(key); // 插入新节点
    } else if (key < root->key) {
        insert(root->left, key); // 递归插入到左子树
    } else {
        insert(root->right, key); // 递归插入到右子树
    }
}

关键点

查找插入位置:通过比较键值确定插入位置。

保持 BST 属性:插入新节点后,树仍应保持二叉搜索树的性质。

自平衡树处理:如果使用自平衡树,如 AVL 树或红黑树,插入后需要额外步骤来调整树的平衡。

二叉搜索树的查找

在二叉搜索树(BST)中,查找某个节点的步骤非常简单,因为 BST 的特性保证了每个节点的左子树中的所有节点值都小于该节点的值,右子树中的所有节点值都大于该节点的值。基于这一特性,查找操作可以高效地通过比较来进行。

查找步骤

从根节点开始

如果树为空,则返回 null 或相应的错误提示,因为节点不存在。

比较节点值

如果查找的值等于当前节点的值,说明找到了目标节点,返回该节点。

如果查找的值小于当前节点的值,则在当前节点的左子树中继续查找。

如果查找的值大于当前节点的值,则在当前节点的右子树中继续查找。

递归或迭代

递归方法会调用自身来继续查找,直到找到目标节点或到达树的末端。

迭代方法使用循环来进行查找,直到找到目标节点或遍历完整棵树。

示例代码(C++)

下面是一个使用 C++ 实现的二叉搜索树查找操作的示例代码,包括递归和迭代两种方式:

cpp 复制代码
#include <iostream>

class TreeNode {
public:
    int key;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;
    
    TreeNode(int val) : key(val), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

class BinarySearchTree {
public:
    BinarySearchTree() : root(nullptr) {}
    
    void insert(int key) {
        TreeNode* newNode = new TreeNode(key);
        
        if (root == nullptr) {
            root = newNode;
            return;
        }
        
        TreeNode* current = root;
        TreeNode* parent = nullptr;
        
        while (true) {
            parent = current;
            if (key < current->key) {
                current = current->left;
                if (current == nullptr) {
                    parent->left = newNode;
                    return;
                }
            } else {
                current = current->right;
                if (current == nullptr) {
                    parent->right = newNode;
                    return;
                }
            }
        }
    }

    TreeNode* search(int key) {
        return searchRec(root, key);
    }
    
    TreeNode* searchIter(int key) {
        TreeNode* current = root;
        while (current != nullptr) {
            if (key == current->key) {
                return current;
            } else if (key < current->key) {
                current = current->left;
            } else {
                current = current->right;
            }
        }
        return nullptr; // Node not found
    }

private:
    TreeNode* root;

    TreeNode* searchRec(TreeNode* node, int key) {
        if (node == nullptr || node->key == key) {
            return node;
        }
        
        if (key < node->key) {
            return searchRec(node->left, key);
        } else {
            return searchRec(node->right, key);
        }
    }
};

int main() {
    BinarySearchTree bst;
    
    bst.insert(50);
    bst.insert(30);
    bst.insert(20);
    bst.insert(40);
    bst.insert(70);
    bst.insert(60);
    bst.insert(80);
    
    int keyToSearch = 40;
    
    // Using recursive search
    TreeNode* resultRec = bst.search(keyToSearch);
    if (resultRec != nullptr) {
        std::cout << "Found " << keyToSearch << " using recursive search." << std::endl;
    } else {
        std::cout << "Did not find " << keyToSearch << " using recursive search." << std::endl;
    }
    
    // Using iterative search
    TreeNode* resultIter = bst.searchIter(keyToSearch);
    if (resultIter != nullptr) {
        std::cout << "Found " << keyToSearch << " using iterative search." << std::endl;
    } else {
        std::cout << "Did not find " << keyToSearch << " using iterative search." << std::endl;
    }
    
    return 0;
}

关键点

递归查找

searchRec 函数递归地在左子树或右子树中查找,直到找到目标节点或到达树的末端。

迭代查找

searchIter 函数使用循环来查找目标节点,直到找到目标节点或遍历完整棵树。

二叉搜索树的删除

在二叉搜索树(BST)中,删除节点是一个涉及多种情况的操作。我们可以按照以下步骤进行删除:

删除节点的步骤

找到要删除的节点:首先,我们需要找到树中要删除的节点。这个过程类似于查找节点。

处理删除节点的不同情况

情况 1:要删除的节点没有子节点(即叶节点)直接删除这个节点。

情况 2:要删除的节点只有一个子节点替换节点用其唯一的子节点,然后删除原来的节点。

情况 3:要删除的节点有两个子节点找到该节点的右子树中最小的节点(即"后继节点"),将这个后继节点的值替换到要删除的节点,然后删除后继节点。

C++ 代码实现

下面是一个基于 C++ 的示例代码,展示了如何在二叉搜索树中删除节点。

cpp 复制代码
#include <iostream>
using namespace std;

// 定义树节点结构
struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

// 找到树中最小的节点
TreeNode* findMin(TreeNode* root) {
    while (root->left != NULL) {
        root = root->left;
    }
    return root;
}

// 删除节点
TreeNode* deleteNode(TreeNode* root, int key) {
    if (root == NULL) return NULL;

    // 查找要删除的节点
    if (key < root->val) {
        root->left = deleteNode(root->left, key);
    } else if (key > root->val) {
        root->right = deleteNode(root->right, key);
    } else {
        // 处理节点的不同情况

        // 情况 1: 节点没有子节点
        if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
            delete root;
            return NULL;
        }

        // 情况 2: 节点只有一个子节点
        if (root->left == NULL) {
            TreeNode* temp = root->right;
            delete root;
            return temp;
        }
        if (root->right == NULL) {
            TreeNode* temp = root->left;
            delete root;
            return temp;
        }

        // 情况 3: 节点有两个子节点
        TreeNode* temp = findMin(root->right); // 找到右子树中的最小节点
        root->val = temp->val; // 替换值
        root->right = deleteNode(root->right, temp->val); // 删除替换值的节点
    }
    return root;
}

// 中序遍历
void inorder(TreeNode* root) {
    if (root == NULL) return;
    inorder(root->left);
    cout << root->val << " ";
    inorder(root->right);
}

int main() {
    // 创建一个简单的二叉搜索树
    TreeNode* root = new TreeNode(5);
    root->left = new TreeNode(3);
    root->right = new TreeNode(7);
    root->left->left = new TreeNode(2);
    root->left->right = new TreeNode(4);
    root->right->left = new TreeNode(6);
    root->right->right = new TreeNode(8);

    cout << "Original BST (Inorder Traversal): ";
    inorder(root);
    cout << endl;

    // 删除节点
    root = deleteNode(root, 7);

    cout << "BST after deleting 7 (Inorder Traversal): ";
    inorder(root);
    cout << endl;

    return 0;
}

代码解释

findMin:这是一个辅助函数,用于找到以指定节点为根的子树中的最小值节点。

deleteNode:这是删除节点的主函数。它递归地查找节点并处理不同的删除情况。

inorder:这是一个中序遍历函数,用于展示树的内容,方便验证删除操作是否正确。

main:在 main 函数中,创建了一个简单的 BST,并展示了删除节点后的结果。

key/value版本中二叉搜索树的实现(模板类)

cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<vector>
#include <string>
using namespace std;


template<class K, class V>
class BSTreeNode
{
public:
	K _key;
	V _value;
public:

	BSTreeNode(K k, V v)
	{
		_key = k;
		_value = v;
		left = nullptr;
		right = nullptr;
	}

	BSTreeNode* left;
	BSTreeNode* right;
};



template<class K, class V>
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const K& key, const V& value)
	{
		Node* pn = new Node(key, value);
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = pn;
		}

		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < pn->_key)
			{
				if (cur->right == nullptr)
				{
					cur->right = pn;
					return true;
				}
				cur = cur->right;
			}
			else if (cur->_key > pn->_key)
			{
				if (cur->left == nullptr)
				{
					cur->left = pn;
					return true;
				}
				cur = cur->left;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}

		return false;
	}

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_key == key)
			{
				return cur;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				cur = cur->right;
			}
			else
			{
				cur = cur->left;
			}
		}

		return nullptr;
	}

	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		Node* par = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				par = cur;
				cur = cur->right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				par = cur;
				cur = cur->left;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}

		if (cur == nullptr) return false;

		if (cur->left == nullptr && cur->right == nullptr)
		{
			if (cur == par)
			{
				delete cur;
				_root = nullptr;
				return true;
			}
			if (par->left == cur)
			{
				par->left = nullptr;
			}
			else
			{
				par->right = nullptr;
			}

			delete cur;
		}
		else if (cur->left == nullptr && cur->right != nullptr)
		{
			if (par == cur)
			{
				_root = cur->right;
				delete cur;
				return true;
			}

			if (par->left == cur)
			{
				par->left = cur->right;
			}
			else
			{
				par->right = cur->right;
			}

			delete cur;
		}
		else if (cur->left != nullptr && cur->right == nullptr)
		{
			if (par == cur)
			{
				_root = cur->left;
				delete cur;
				return true;
			}
			if (par->left == cur)
			{
				par->left = cur->left;
			}
			else
			{
				par->right = cur->left;
			}

			delete cur;
		}
		else
		{
			Node* rminl = cur->right;
			par = rminl;
			while (rminl->left)
			{
				par = rminl;
				rminl = rminl->left;
			}

			cur->_key = rminl->_key;

			if (rminl == par)
			{
				cur->right = rminl->right;
				delete rminl;
			}
			else
			{
				par->left = nullptr;
				delete rminl;
			}

		}

		return true;
	}


	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (!root) return;

		_InOrder(root->left);

		cout << root->_key << " ";

		_InOrder(root->right);
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	~BSTree()
	{
		Destroy(_root);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;

	void Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		Destroy(root->left);
		Destroy(root->right);

		delete root;
	}
};
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