二叉搜索树
二叉搜索树
⼆叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树,它或者是⼀棵空树,或者是具有以下性质的⼆叉树:
- 若它的左⼦树不为空,则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
- 若它的右⼦树不为空,则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
- 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
- ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值,也可以不⽀持插⼊相等的值,具体看使⽤场景定义,后续map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树,其中map/set不⽀持插⼊相等值multimap/multiset⽀持插⼊相等值
⼆叉搜索树的性能分析
- 最优情况下,⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树),其⾼度为:O(log2 N)
- 最差情况下,⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀),其⾼度为:O(N/2 )
二叉搜索树(BST)的性能主要依赖于树的形状。以下是其性能的详细分析:
平均性能
查找:O(log N)
插入:O(log N)
删除:O(log N)
这些性能假设树是平衡的,即每个节点的左右子树高度差不超过1。在这种情况下,树的高度大约为 log N,因此操作的时间复杂度为 O(log N)。
最坏性能
查找:O(N)
插入:O(N)
删除:O(N)
在最坏情况下,例如树退化成链表(所有节点只有一个子节点),树的高度变为 N,操作的时间复杂度变为 O(N)。
平衡性对性能的影响
完全二叉树:在这种树中,每一层都被完全填充,性能接近于 O(log N)。
AVL 树:一种自平衡的二叉搜索树,任何时刻保持平衡,因此所有操作都能在 O(log N) 时间内完成。
红黑树:另一种自平衡的二叉搜索树,虽然略逊色于 AVL 树的严格平衡,但仍保证 O(log N) 的操作时间。
操作详解
查找:从根节点开始,按键值与当前节点键值比较决定向左或向右子树移动。这个过程在平衡树中是对数级别的时间复杂度。
插入:查找适当的位置后插入新节点,并可能需要调整树结构(例如,通过旋转)以保持树的平衡。这在自平衡树中通常是对数级别的时间复杂度。
删除:查找并删除节点后,需要调整树结构以保持平衡。删除操作可能涉及节点替换(例如,使用右子树的最小节点替代),并可能需要进行树结构的调整。
二叉搜索树的插入
在二叉搜索树(BST)中插入一个新节点的过程包括以下步骤:
从根节点开始:.
首先,将新节点的键值与当前节点的键值进行比较。
决定插入方向:
如果新节点的键值小于当前节点的键值,则移动到当前节点的左子树。
如果新节点的键值大于当前节点的键值,则移动到当前节点的右子树。
递归或迭代插入:
如果左子树或右子树为空(即到达一个叶节点的位置),则在该位置插入新节点。
如果左子树或右子树不为空,则递归或迭代执行插入过程,直到找到合适的位置。
更新树结构:插入节点后,树的结构可能需要更新。如果树是自平衡的(如 AVL 树或红黑树),可能需要调整树的平衡性,例如通过旋转操作来维持树的平衡。
示例代码(伪代码)
cpp
void insert(Node*& root, int key) {
if (root == nullptr) {
root = new Node(key); // 插入新节点
} else if (key < root->key) {
insert(root->left, key); // 递归插入到左子树
} else {
insert(root->right, key); // 递归插入到右子树
}
}
关键点
查找插入位置:通过比较键值确定插入位置。
保持 BST 属性:插入新节点后,树仍应保持二叉搜索树的性质。
自平衡树处理:如果使用自平衡树,如 AVL 树或红黑树,插入后需要额外步骤来调整树的平衡。
二叉搜索树的查找
在二叉搜索树(BST)中,查找某个节点的步骤非常简单,因为 BST 的特性保证了每个节点的左子树中的所有节点值都小于该节点的值,右子树中的所有节点值都大于该节点的值。基于这一特性,查找操作可以高效地通过比较来进行。
查找步骤
从根节点开始:
如果树为空,则返回 null 或相应的错误提示,因为节点不存在。
比较节点值:
如果查找的值等于当前节点的值,说明找到了目标节点,返回该节点。
如果查找的值小于当前节点的值,则在当前节点的左子树中继续查找。
如果查找的值大于当前节点的值,则在当前节点的右子树中继续查找。
递归或迭代:
递归方法会调用自身来继续查找,直到找到目标节点或到达树的末端。
迭代方法使用循环来进行查找,直到找到目标节点或遍历完整棵树。
示例代码(C++)
下面是一个使用 C++ 实现的二叉搜索树查找操作的示例代码,包括递归和迭代两种方式:
cpp
#include <iostream>
class TreeNode {
public:
int key;
TreeNode* left;
TreeNode* right;
TreeNode(int val) : key(val), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
class BinarySearchTree {
public:
BinarySearchTree() : root(nullptr) {}
void insert(int key) {
TreeNode* newNode = new TreeNode(key);
if (root == nullptr) {
root = newNode;
return;
}
TreeNode* current = root;
TreeNode* parent = nullptr;
while (true) {
parent = current;
if (key < current->key) {
current = current->left;
if (current == nullptr) {
parent->left = newNode;
return;
}
} else {
current = current->right;
if (current == nullptr) {
parent->right = newNode;
return;
}
}
}
}
TreeNode* search(int key) {
return searchRec(root, key);
}
TreeNode* searchIter(int key) {
TreeNode* current = root;
while (current != nullptr) {
if (key == current->key) {
return current;
} else if (key < current->key) {
current = current->left;
} else {
current = current->right;
}
}
return nullptr; // Node not found
}
private:
TreeNode* root;
TreeNode* searchRec(TreeNode* node, int key) {
if (node == nullptr || node->key == key) {
return node;
}
if (key < node->key) {
return searchRec(node->left, key);
} else {
return searchRec(node->right, key);
}
}
};
int main() {
BinarySearchTree bst;
bst.insert(50);
bst.insert(30);
bst.insert(20);
bst.insert(40);
bst.insert(70);
bst.insert(60);
bst.insert(80);
int keyToSearch = 40;
// Using recursive search
TreeNode* resultRec = bst.search(keyToSearch);
if (resultRec != nullptr) {
std::cout << "Found " << keyToSearch << " using recursive search." << std::endl;
} else {
std::cout << "Did not find " << keyToSearch << " using recursive search." << std::endl;
}
// Using iterative search
TreeNode* resultIter = bst.searchIter(keyToSearch);
if (resultIter != nullptr) {
std::cout << "Found " << keyToSearch << " using iterative search." << std::endl;
} else {
std::cout << "Did not find " << keyToSearch << " using iterative search." << std::endl;
}
return 0;
}
关键点
递归查找:
searchRec 函数递归地在左子树或右子树中查找,直到找到目标节点或到达树的末端。
迭代查找:
searchIter 函数使用循环来查找目标节点,直到找到目标节点或遍历完整棵树。
二叉搜索树的删除
在二叉搜索树(BST)中,删除节点是一个涉及多种情况的操作。我们可以按照以下步骤进行删除:
删除节点的步骤
找到要删除的节点:首先,我们需要找到树中要删除的节点。这个过程类似于查找节点。
处理删除节点的不同情况:
情况 1:要删除的节点没有子节点(即叶节点)直接删除这个节点。
情况 2:要删除的节点只有一个子节点替换节点用其唯一的子节点,然后删除原来的节点。
情况 3:要删除的节点有两个子节点找到该节点的右子树中最小的节点(即"后继节点"),将这个后继节点的值替换到要删除的节点,然后删除后继节点。
C++ 代码实现
下面是一个基于 C++ 的示例代码,展示了如何在二叉搜索树中删除节点。
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
// 定义树节点结构
struct TreeNode {
int val;
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};
// 找到树中最小的节点
TreeNode* findMin(TreeNode* root) {
while (root->left != NULL) {
root = root->left;
}
return root;
}
// 删除节点
TreeNode* deleteNode(TreeNode* root, int key) {
if (root == NULL) return NULL;
// 查找要删除的节点
if (key < root->val) {
root->left = deleteNode(root->left, key);
} else if (key > root->val) {
root->right = deleteNode(root->right, key);
} else {
// 处理节点的不同情况
// 情况 1: 节点没有子节点
if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
delete root;
return NULL;
}
// 情况 2: 节点只有一个子节点
if (root->left == NULL) {
TreeNode* temp = root->right;
delete root;
return temp;
}
if (root->right == NULL) {
TreeNode* temp = root->left;
delete root;
return temp;
}
// 情况 3: 节点有两个子节点
TreeNode* temp = findMin(root->right); // 找到右子树中的最小节点
root->val = temp->val; // 替换值
root->right = deleteNode(root->right, temp->val); // 删除替换值的节点
}
return root;
}
// 中序遍历
void inorder(TreeNode* root) {
if (root == NULL) return;
inorder(root->left);
cout << root->val << " ";
inorder(root->right);
}
int main() {
// 创建一个简单的二叉搜索树
TreeNode* root = new TreeNode(5);
root->left = new TreeNode(3);
root->right = new TreeNode(7);
root->left->left = new TreeNode(2);
root->left->right = new TreeNode(4);
root->right->left = new TreeNode(6);
root->right->right = new TreeNode(8);
cout << "Original BST (Inorder Traversal): ";
inorder(root);
cout << endl;
// 删除节点
root = deleteNode(root, 7);
cout << "BST after deleting 7 (Inorder Traversal): ";
inorder(root);
cout << endl;
return 0;
}
代码解释
findMin:这是一个辅助函数,用于找到以指定节点为根的子树中的最小值节点。
deleteNode:这是删除节点的主函数。它递归地查找节点并处理不同的删除情况。
inorder:这是一个中序遍历函数,用于展示树的内容,方便验证删除操作是否正确。
main:在 main 函数中,创建了一个简单的 BST,并展示了删除节点后的结果。
key/value版本中二叉搜索树的实现(模板类)
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
#include <string>
using namespace std;
template<class K, class V>
class BSTreeNode
{
public:
K _key;
V _value;
public:
BSTreeNode(K k, V v)
{
_key = k;
_value = v;
left = nullptr;
right = nullptr;
}
BSTreeNode* left;
BSTreeNode* right;
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
Node* pn = new Node(key, value);
if (_root == nullptr)
{
_root = pn;
}
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < pn->_key)
{
if (cur->right == nullptr)
{
cur->right = pn;
return true;
}
cur = cur->right;
}
else if (cur->_key > pn->_key)
{
if (cur->left == nullptr)
{
cur->left = pn;
return true;
}
cur = cur->left;
}
else
{
break;
}
}
return false;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key == key)
{
return cur;
}
else if (cur->_key < key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
cur = cur->left;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* cur = _root;
Node* par = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
par = cur;
cur = cur->right;
}
else if (cur->_key > key)
{
par = cur;
cur = cur->left;
}
else
{
break;
}
}
if (cur == nullptr) return false;
if (cur->left == nullptr && cur->right == nullptr)
{
if (cur == par)
{
delete cur;
_root = nullptr;
return true;
}
if (par->left == cur)
{
par->left = nullptr;
}
else
{
par->right = nullptr;
}
delete cur;
}
else if (cur->left == nullptr && cur->right != nullptr)
{
if (par == cur)
{
_root = cur->right;
delete cur;
return true;
}
if (par->left == cur)
{
par->left = cur->right;
}
else
{
par->right = cur->right;
}
delete cur;
}
else if (cur->left != nullptr && cur->right == nullptr)
{
if (par == cur)
{
_root = cur->left;
delete cur;
return true;
}
if (par->left == cur)
{
par->left = cur->left;
}
else
{
par->right = cur->left;
}
delete cur;
}
else
{
Node* rminl = cur->right;
par = rminl;
while (rminl->left)
{
par = rminl;
rminl = rminl->left;
}
cur->_key = rminl->_key;
if (rminl == par)
{
cur->right = rminl->right;
delete rminl;
}
else
{
par->left = nullptr;
delete rminl;
}
}
return true;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (!root) return;
_InOrder(root->left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->right);
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
}
private:
Node* _root = nullptr;
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
Destroy(root->left);
Destroy(root->right);
delete root;
}
};