力扣-96.不同的二叉搜索树 题目详解

题目:

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

二叉搜索树介绍:

二叉搜索树是一个有序树：

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

• 它的左、右子树也分别为二叉搜索树

思路:

1. 看题分析然后画图

当 n = 1时.

当 n = 2 时

当 n = 3 时

注意: 我们求的是不同树的数量,并不用把搜索树都列出来,所以不用关心具体数值的差异

1. 接下来看看 n为3时 ,有哪几种情况:

1.当1为头节点:

其右子树有两个节点,其布局和 n=2 的布局一样

2.当3为头节点

其左子树有两个节点,其布局和 n=2 的布局一样

当2为头节点

其左右子树都只有一个节点,其布局和 n=1 的布局一样

经过上面分析,我们找到了重叠子问题了,发现可以通过dp1和dp2可以推导出dp3的某种方式

1. 思考以上得出:

dp3计算过程:

dp3，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp2。

有1个元素的搜索树数量就是dp1。

有0个元素的搜索树数量就是dp0。

所以dp3 = dp2 * dp0 + dp1 * dp1 + dp0 * dp2

dp2计算过程:

dp2，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

有1个元素的搜索树数量就是dp1。

有0个元素的搜索树数量就是dp0。

所以dp2 = dp0 * dp1 + dp1 * dp0

如图所示:

动规五部曲系统分析:

已经找到了递推关系,接下来用动规五部曲在系统分析一遍

1. 确定dp数组的下标以及含义:

dpi: 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dpi

也可以理解为:i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数

1. 定递推关系式:

dpi +=dp以j为头节点左子树节点数量 * dp以j为头节点右子树节点数量

其中j相当于是头节点的元素,从1遍历到i为止

递推公式:dpi +=dpj - 1 * dpi - j

j - 1为: 以j为头节点左子树节点数量

i - j 为: 以j为头节点右子树节点数量

i - j 表示的是右子树的节点数。在这个问题中，我们遍历每个数字 i 作为根节点，然后遍历所有可能的左子树节点数 j-1。由于根节点 i 已经被选定，所以右子树的节点数就是 i 减去左子树的节点数 j，即 i - j。 ​ 例如，假设我们有 i = 5 个节点，我们尝试将数字 3 作为根节点。此时，左子树的节点数为 j-1 = 2，右子树的节点数就是 i - j = 5 - 3 = 2。我们需要计算左子树和右子树的所有可能组合，即 dpj - 1 * dpi - j，然后将这些组合累加到 dpi 中。

1. dp数组初始化:

只要初始dp0就可以了

从递归公式上看, dp以j为头节点左子树节点数量 * dp以j为头节点右子树节点数量 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp以j为头结点左子树节点数量 = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。

1. 确定遍历顺序

首先遍历节点数,从递归公式: dpi += dpj-1 * dpi-j 可以看出, 节点数为i的状态是依靠之前节点数的状态

遍历 i 里面每一个数作为头节点的状态,用 j 来遍历

for i in range(1, n+1)
    for j in range(1, i+1)
        dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]

1. 列举推导dp数组

当n=5时,dp数组状态如图

完整代码:

​

def numTrees(n):
    """
    自定义函数,计算给定节点数n的不同二叉搜索树的数量
    :param n: 二叉搜索树的节点数
    :return: 不同的二叉搜索树的数量
    """
    # 如果节点数为1或0, 那么只有一种情况,即空树或者只有一个节点的数
    if n==0 or n==1:
        return 1
​
    # 初始化动态规划数组，长度为n+1，因为包括0个节点的情况
    dp = [0] * (n + 1)
​
    # 0个节点的二叉搜索树只有1种，即空树
    dp[0] = 1
​
    # 遍历每个节点数，从1到n
    for i in range(1, n + 1):
        # 对于每个数字i, 计算以i为根节点的二叉搜索树的数量
        for j in range(1, i + 1):
            # 左子树的节点数为j-1，右子树的节点数为i-j
            # 左子树的不同二叉搜索树数量乘以右子树的不同二叉搜索树数量
            # 就是以j为根节点的不同二叉搜索树的数量
            dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]
​
    # 返回n个节点的不同二叉搜索树的数量
    return dp[n]
​
if __name__ == '__main__':
    # 测试函数，输出4个节点的不同二叉搜索树的数量
    print(numTrees(1))
​