数据结构——二叉树的介绍

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。 有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点 除根结点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继 因此,树是递归定义的。

注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构

**注意:**这样便不是树。

这也是树的逻辑概念

.2 树的相关概念

**结点的度:**一个结点含有的子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的为6

叶结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I...等结点为叶结点

**双亲结点或父结点:**若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点

**孩子结点或子结点:**一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点

**树的度:**一棵树中,最大的结点的度称为树的度; 如上图:树的度为6

**树的高度或深度:**树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4

1.二叉树的概念及结构

1.二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上面我们可以看出:

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

2.二叉树的五种状态

1.空树

2.只有根

3.根加上左子树

4.根加上右子树

5.根加上左子树和右子树

2.特殊的二叉树

1. 满二叉树:

一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是2^k-1,则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树:

完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

3.二叉树的性质

  1. 若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有**2^(i-1)**个结点.

  2. 若规定根结点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是 .2^h-1

  3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为n2 ,则有n0=n2 +1

(假设二叉树有N个结点 。从总结点数角度考虑:N = n0 + n1 + n2 )

4.对于有n个节点的完全二叉树,如果从上而下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:

1>. 若i>0,i位置结点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点

2>. 若2i+1<n,左孩子序号为2i+1,如果2i+1>=n,则无左孩子

3>. 若2i+2<n,右孩子序号为2i+2,如果2i+2>=n,则无右孩子

4 .二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构 ,一种链式结构

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链,当前我们学习中一般都是二叉链,后面课程 学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

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