在概率论和统计学中，术语"in law"（在分布上）指的是随机变量的分布收敛到某个目标分布的情况。下面是对这个概念及其在定理中的应用的详细解释
"In Law"（在分布上）的含义
定义：
如果 { Y n } \{Y_n\} {Yn}是一系列随机变量，并且它们的分布函数 F Y n ( x ) F_{Y_n}(x) FYn(x) 对于所有 x x x 收敛于某个目标分布函数 F Y ( x ) F_Y(x) FY(x)，即：
lim n → ∞ F Y n ( x ) = F Y ( x ) 对于所有 x 使得 F Y ( x ) 是连续的 , \lim_{n \to \infty} F_{Y_n}(x) = F_Y(x) \text{ 对于所有 } x \text{ 使得 } F_Y(x) \text{ 是连续的}, n→∞limFYn(x)=FY(x) 对于所有 x 使得 FY(x) 是连续的,
则我们说随机变量 Y n Y_n Yn 收敛于随机变量 Y Y Y 的分布，记作：
Y n → d Y Y_n \xrightarrow{d} Y Ynd Y
或
Y n → L Y Y_n \xrightarrow{L} Y YnL Y
定理 2.3.2 的含义
定理： 如果 Y n Y_n Yn 在分布上收敛于一个分布 H H H，那么 Y n Y_n Yn 是在概率上有界的。
解释：
-
收敛在分布上（Convergence in Law/Distribution） ：表示随机变量 Y n Y_n Yn 的分布函数 F Y n ( x ) F_{Y_n}(x) FYn(x) 随着 n n n 的增大趋向于分布函数 F H ( x ) F_H(x) FH(x)。
-
概率上有界（Bounded in Probability） ：意味着存在一个常数 M M M，对于任意 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ>0，都有：
P ( ∣ Y n ∣ > M ) ≤ ϵ P(|Y_n| > M) \leq \epsilon P(∣Yn∣>M)≤ϵ即 Y n Y_n Yn 的绝对值不会超过 M M M 的概率可以使得小于任意的 ϵ \epsilon ϵ。这表明 Y n Y_n Yn 的值在概率上被控制在某个有限范围内。
为何"in law"意味着概率上有界
虽然"在分布上收敛"说明了分布的收敛性，但定理中指出，如果 Y n Y_n Yn 的分布收敛于某个目标分布 H H H，那么 Y n Y_n Yn 必定在概率上有界。这意味着虽然随机变量的分布变化，但是它们的值在某个有限范围内的概率趋向于1，不会无限增大。