线性方程组
一.直接解法
例如：
方程组：
x+2y+3z=5
x+4y+9z=-2
x+8y+27z=6
可知：
A=[1 2 3;1 4 9;1 8 27]
b=[5;-2;6]
x=A\b
代码：
matlab
A=[1 2 3;1 4 9;1 8 27];
b=[5;-2;6];
x=inv(A)*b;线性方程组是线性代数研究的主要对象之一。
求解线性方程组的问题，不但在自然科学和工程技术中有所涉及，而且在数值计算方法的其它分支研究中，比如样条插值、最佳平方逼近、微分方程数值解，也往往需要求解线性方程组；
MATLAB软件最早也是起源于对线性方程组的研究；
直接解法
Ax=b
x=A^-1*b
MATLAB矩阵求逆函数：inv(A)
方程的解法为：x=inv(A)*b
从执行时间和数值准确性方面而言，一种更好的方法是使用矩阵反斜杠运算符，即:
x=A\b
这会使用高斯消去法来求解线性方程组，不必求逆矩阵。
二.矩阵分解法
矩阵分解法是指将线性方程组Ax=b分解为矩阵A的一些基本子式，然后利用这些子式来求解线性方程组。
LU分解法
- [L,U] = lu(A)
LU分解法是将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，并使得L的对角线元素为1。注意：这里的矩阵A必须是方阵。 - [L,U,P] = lu(A)
产生一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L，并使得L的对角线元素为1。P是一个置换矩阵，使得PA=LU。这里的矩阵A必须是方阵。
LU分解：
实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解为
x=U(L\b)
或
x=U(L\Pb)
这样可以大大提高运算速度。
QR分解法
QR分解：对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角阵R的乘积形式；QR分解只能对方阵进行。
- MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为：
[Q,R]=qr(X) - 产生一个正交矩阵Q和一个上三角阵R,使之满足X=QR.
[Q,R,E]=qr(X) - 产生一个正交矩阵Q、一个上三角阵R以及一个置换矩阵E,使之满足XE=QR. 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解为：
x=R(Q\b)或x=E(R(Q\b))
三.迭代解法
- 线性方程组的直接解法：精确解；对大型线性方程组的计算效率高：
- 迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让一组指令重复执行，在每次执行这组指令时，都从变量的原值推出它的新值。
- 迭代解法非常适合求解大型稀疏矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括：
- Jacobi迭代法；
- Gauss--Serdel迭代法；
- 超松弛迭代法；
线性方程组的迭代解法一Jacobii迭代法
于是Ax=b转化为：
x=D^-1(L+U)x +D^-1b
与之对应的迭代公式为：
x^(k+1)=D^-1(L+U)x^(k)+D^-1b
这就是Jacobi迭代公式。
如果序列{xk+1}收敛于x,则x必是方程Ax=b的解；
matlab
function [y,n]=jacobi(A,b,x0,ep)
if nargin==3
ep=l.0e-6;
elseif nargin<3
error
return
end
D=diag(diag(A)):%求A的对角矩阵
L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵
U=-triu(A,1);%求A的上三角阵
B=D\(L+U);
f=D\b;
y=B*x0+f:
n=l;%迭代次数
while norm(y-x0)>=ep
x0=y;
y=B*x0+f;
end