MATLAB方程求解：1.线性方程组

线性方程组

一.直接解法

例如：

方程组：

x+2y+3z=5

x+4y+9z=-2

x+8y+27z=6

可知：

A=1 2 3;1 4 9;1 8 27

b=5;-2;6

x=A\b

代码：

A=[1 2 3;1 4 9;1 8 27];
b=[5;-2;6];
x=inv(A)*b;

线性方程组是线性代数研究的主要对象之一。

求解线性方程组的问题，不但在自然科学和工程技术中有所涉及，而且在数值计算方法的其它分支研究中，比如样条插值、最佳平方逼近、微分方程数值解，也往往需要求解线性方程组；

MATLAB软件最早也是起源于对线性方程组的研究；

直接解法

Ax=b

x=A^-1*b

MATLAB矩阵求逆函数：inv(A)

方程的解法为：x=inv(A)*b

从执行时间和数值准确性方面而言，一种更好的方法是使用矩阵反斜杠运算符，即:

x=A\b

这会使用高斯消去法来求解线性方程组，不必求逆矩阵。

二.矩阵分解法

矩阵分解法是指将线性方程组Ax=b分解为矩阵A的一些基本子式，然后利用这些子式来求解线性方程组。

LU分解法

1. L,U = lu(A)
   LU分解法是将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，并使得L的对角线元素为1。注意：这里的矩阵A必须是方阵。
2. L,U,P = lu(A)
   产生一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L，并使得L的对角线元素为1。P是一个置换矩阵，使得PA=LU。这里的矩阵A必须是方阵。

LU分解：

实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解为

x=U(L\b)

或

x=U(L\Pb)

这样可以大大提高运算速度。

QR分解法

QR分解：对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角阵R的乘积形式；QR分解只能对方阵进行。

1. MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为：
   Q,R=qr(X)
2. 产生一个正交矩阵Q和一个上三角阵R,使之满足X=QR.
   Q,R,E=qr(X)
3. 产生一个正交矩阵Q、一个上三角阵R以及一个置换矩阵E,使之满足XE=QR. 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解为：
   x=R(Q\b)或x=E(R(Q\b))

三.迭代解法

• 线性方程组的直接解法：精确解；对大型线性方程组的计算效率高：
• 迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让一组指令重复执行，在每次执行这组指令时，都从变量的原值推出它的新值。
• 迭代解法非常适合求解大型稀疏矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括：
  • Jacobi迭代法；
  • Gauss--Serdel迭代法；
  • 超松弛迭代法；

线性方程组的迭代解法一Jacobii迭代法

于是Ax=b转化为：

x=D^-1(L+U)x +D^-1b

与之对应的迭代公式为：

x^(k+1)=D-1(L+U)x^(k)+D-1b

这就是Jacobi迭代公式。

如果序列{xk+1}收敛于x,则x必是方程Ax=b的解；

function [y,n]=jacobi(A,b,x0,ep)
if nargin==3
    ep=l.0e-6;
elseif nargin<3
    error
    return
end

D=diag(diag(A)):%求A的对角矩阵
L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵
U=-triu(A,1);%求A的上三角阵

B=D\(L+U);
f=D\b;
y=B*x0+f:
n=l;%迭代次数
while norm(y-x0)>=ep
    x0=y;
    y=B*x0+f;
end