Wasserstein GAN (WGAN) 是一种改进的生成对抗网络（GAN），由 Arjovsky 等人在 2017 年提出，用于解决原始 GAN 中的训练不稳定性和模式崩溃（Mode Collapse）问题。WGAN 的核心思想是使用Wasserstein 距离（也叫 Earth Mover's 距离，EM 距离）来度量生成分布和真实分布之间的距离，代替原始 GAN 使用的 Jensen-Shannon (JS) 散度。
1. 原始 GAN 的问题
在原始 GAN 中，生成器 G G G 和判别器 D D D 通过博弈论的方式进行对抗性训练，目标是让 G G G 生成的假样本与真实样本尽可能相似，而 D D D 则要尽可能区分开真假样本。GAN 的损失函数基于交叉熵，具体公式如下：
- 判别器损失 ：
L D = − E x ∼ P d a t a [ log D ( x ) ] − E z ∼ P z [ log ( 1 − D ( G ( z ) ) ) ] L_D = -\mathbb{E}{x \sim P{data}}[\log D(x)] - \mathbb{E}_{z \sim P_z}[\log (1 - D(G(z)))] LD=−Ex∼Pdata[logD(x)]−Ez∼Pz[log(1−D(G(z)))] - 生成器损失 ：
L G = − E z ∼ P z [ log D ( G ( z ) ) ] L_G = -\mathbb{E}_{z \sim P_z}[\log D(G(z))] LG=−Ez∼Pz[logD(G(z))]
在训练过程中，GAN 使用的 Jensen-Shannon 散度（JS 散度）在两个分布不重叠的情况下为常数，这会导致生成器梯度消失，造成训练不稳定，模型难以收敛。此外，原始 GAN 经常会出现模式崩溃问题，即生成器只能生成一小部分样本，不能涵盖真实数据分布的所有模式。
2. WGAN 的改进：使用 Wasserstein 距离
WGAN 的关键改进是用 Wasserstein 距离来替代 JS 散度。Wasserstein 距离度量两个概率分布之间的距离，反映了从一个分布变换到另一个分布所需的最小"代价"，这个代价可以理解为将一个分布的质量搬运到另一个分布的总距离（类似于搬运土堆的工作量，因此也叫 Earth Mover's 距离）。
Wasserstein 距离的定义：
给定两个概率分布 P r P_r Pr 和 P g P_g Pg，它们的 Wasserstein 距离定义为：
W ( P r , P g ) = inf γ ∈ Π ( P r , P g ) E ( x , y ) ∼ γ [ ∥ x − y ∥ ] W(P_r, P_g) = \inf_{\gamma \in \Pi(P_r, P_g)} \mathbb{E}_{(x, y) \sim \gamma} [\|x - y\|] W(Pr,Pg)=γ∈Π(Pr,Pg)infE(x,y)∼γ[∥x−y∥]
其中 Π ( P r , P g ) \Pi(P_r, P_g) Π(Pr,Pg) 是所有将 P r P_r Pr 变为 P g P_g Pg 的联合分布， ∥ x − y ∥ \|x - y\| ∥x−y∥ 表示从 P r P_r Pr 采样的 x x x 和从 P g P_g Pg 采样的 y y y 之间的距离。
Wasserstein 距离具有良好的性质：
- 可微分：即使生成器和真实分布没有重叠，Wasserstein 距离仍然可以提供有意义的梯度。
- 更稳定：WGAN 训练过程更加稳定，生成器和判别器的更新更加顺畅，避免了梯度消失问题。
3. WGAN 的损失函数
为了使用 Wasserstein 距离，WGAN 对判别器进行了修改。原始 GAN 的判别器输出为一个二值概率，判别样本是真实的还是生成的。而 WGAN 的判别器不再是输出概率，而是一个评分函数（score function），用来衡量样本的"真实程度"。
在 WGAN 中，判别器被称为批评器（Critic），其损失函数变为：
-
批评器损失 ：
L C = − E x ∼ P r [ C ( x ) ] + E z ∼ P z [ C ( G ( z ) ) ] L_C = -\mathbb{E}{x \sim P_r}[C(x)] + \mathbb{E}{z \sim P_z}[C(G(z))] LC=−Ex∼Pr[C(x)]+Ez∼Pz[C(G(z))]其中 C ( x ) C(x) C(x) 是批评器对真实样本 x x x 的打分， C ( G ( z ) ) C(G(z)) C(G(z)) 是对生成样本的打分。
-
生成器损失 ：
L G = − E z ∼ P z [ C ( G ( z ) ) ] L_G = -\mathbb{E}_{z \sim P_z}[C(G(z))] LG=−Ez∼Pz[C(G(z))]
批评器的目标是让 C ( x ) C(x) C(x) 尽可能大， C ( G ( z ) ) C(G(z)) C(G(z)) 尽可能小，从而拉开真实样本和生成样本的评分差距。
4. 1-Lipschitz 连续性和权重裁剪
为了保证 Wasserstein 距离的计算有效，批评器必须满足1-Lipschitz 连续性 。也就是说，对于任何两个输入 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2，都要求：
∣ C ( x 1 ) − C ( x 2 ) ∣ ≤ ∥ x 1 − x 2 ∥ |C(x_1) - C(x_2)| \leq \|x_1 - x_2\| ∣C(x1)−C(x2)∣≤∥x1−x2∥
WGAN 通过**权重裁剪（weight clipping）**来强制批评器满足 1-Lipschitz 连续性。即在每次更新批评器的参数后，将权重限制在某个范围内，如 [ − 0.01 , 0.01 ] [-0.01, 0.01] [−0.01,0.01]。虽然权重裁剪是 WGAN 中的一个重要步骤，但在实际应用中，裁剪会导致模型训练变得较为不稳定，因此 WGAN 后来被改进为 WGAN-GP（使用梯度惩罚替代权重裁剪，详见 WGAN-GP 部分）。
5. WGAN 的训练流程
WGAN 的训练流程与标准 GAN 相似，但有几点区别：
- 批评器更新次数增加：在每次更新生成器之前，批评器通常会进行多次更新（例如 5 次）。这有助于确保批评器能够提供有效的梯度给生成器。
- 权重裁剪：在更新批评器参数后，对批评器的权重进行裁剪，以保证 Lipschitz 连续性。
- 生成器更新：当批评器的训练充分后，才会更新生成器。
6. WGAN 的优势
- 梯度消失问题缓解：WGAN 通过 Wasserstein 距离计算出连续可微的损失，即使生成分布和真实分布几乎不重叠，生成器仍能获得有效的梯度更新。
- 模式崩溃问题缓解：由于 Wasserstein 距离提供了更精确的分布距离衡量标准，生成器更能学习到数据分布的多样性，从而避免模式崩溃。
- 训练稳定性提升：WGAN 在训练过程中，生成器和判别器的更新更稳定，不容易出现发散或震荡的问题。
7. WGAN 的不足
- 权重裁剪问题：虽然权重裁剪保证了 Lipschitz 连续性，但它也可能限制批评器的表示能力，使得训练变得较慢或不稳定。为此，WGAN-GP 提出了用梯度惩罚来代替权重裁剪。
8. WGAN-GP（WGAN with Gradient Penalty）
WGAN-GP 是 WGAN 的改进版本，提出了一种更有效的方式来保证批评器的 1-Lipschitz 连续性。它通过引入梯度惩罚（Gradient Penalty）来强制批评器的梯度满足 Lipschitz 条件，而不是使用权重裁剪。
梯度惩罚项 ：
L G P = λ E x ^ ∼ P x ^ [ ( ∥ ∇ x ^ C ( x ^ ) ∥ 2 − 1 ) 2 ] L_{GP} = \lambda \mathbb{E}{\hat{x} \sim P{\hat{x}}} \left[ \left( \|\nabla_{\hat{x}} C(\hat{x}) \|_2 - 1 \right)^2 \right] LGP=λEx^∼Px^[(∥∇x^C(x^)∥2−1)2]
其中 x ^ \hat{x} x^ 是从生成数据和真实数据的线性插值中采样的， λ \lambda λ 是惩罚系数，通常设置为 10。
引入梯度惩罚后，WGAN-GP 保留了 WGAN 的所有优势，同时避免了权重裁剪的缺点，使训练更加稳定高效。
总结：
WGAN 通过 Wasserstein 距离代替 JS 散度，解决了原始 GAN 中的训练不稳定和模式崩溃问题，并显著提升了生成模型的性能和稳定性。尽管 WGAN 存在一些权重裁剪方面的问题，但它为生成模型的发展提供了一个重要的理论基础，后续的 WGAN-GP 改进版进一步提升了其性能。