动态规划算法：10.路径问题_地下城游戏_C++

题目链接：174. 地下城游戏 - 力扣（LeetCode）

一、题目解析

题目：

解析：

我们由题目可以知道，我们骑士的最低血量就是我们要求得最小初始值，我们要求骑士拯救公主后血量在0以上，那么最小的时候是什么情况：

如果拯救公主时，有守卫守护，那么我们希望拯救完公主后，血量为1
如果拯救公主时，没有首位守护，或者有健康点数可以增加，那么我们希望拯救公主前，血量为1

并且在以上过程中，骑士的血量不可以降至0或者0以下

二、算法原理

1、状态表示

我们在状态标识的时候，一般都会创建一个数组dp，也就是我们所说的dp表，我们要做的就是把每一个状态的值填入这个表内，最终这个表内的某一个值可能就是我们要返回的值。

状态简单理解就是dp表内某一个值代表的含义。

如何确定状态表示

题目要求

简单的题目里一般会给出

经验+题目要求

越学越深入，动态规划也是熟能生巧，在题目中没有明显给出的时候，我们就要凭借自己做题的经验来确定，所以就需要我们大量的做题。

分析问题的过程中，发现重复子问题

分析问题的过程中把重复子问题抽象成我们的状态表示，这个更难理解，一切的基础都是我们先对动态规划算法熟练运用。我也不懂，我们慢慢来。

综上：我们通常会以一个位置为结尾或者开始求得我们想要的答案

那我们的这道题得状态表示是什么样的：

根据经验，我们在此以一个位置为开始解题

为什么这次我们以一个位置为开始，但是之前都是以一个位置为结尾呢？

如果以一个位置为结尾解题，那么该点应该表示，到达该位置时需要的最小生命值 ，那么如果下一个位置的值是一个负数呢？我们只能保证通过该位置，但是并不能保证安全通过下一个位置， 所以我们以一个位置为开始解题，也就是从该位置开始，到达终点所需要的最小生命值

状态表示：dp $i$ $j$ 表示，从(i,j)位置开始，到达终点所需要的最小生命值

2、状态转移方程

确定状态表示之后我们就可以根据状态标识推出状态转移方程

状态转移方程是什么？

不讲什么复杂的，简单来说状态转移方程就是 dp $i$ $j$ 等于什么 dp $i$ $j$ =？

这个就是状态转移方程，我们要做的，就是推出dp $i$ $j$ 等于什么

我们根据状态表示再结合题目+经验去推理转移方程，这一步也是我们整个解题过程中最难的一步

我们在这道题先简单了解下什么是状态转移方程，之后比较难的题目再细推

状态转移方程推理：

我们考虑从右下往左上 进行动态规划。令 dp $i$ $j$ 表示从坐标 (i,j) 到终点所需的最小初始值 。换句话说，当我们到达坐标 (i,j) 时，如果此时我们的路径和不小于 dp $i$ $j$ ，我们就能到达终点

这样一来，我们就无需担心路径和的问题，只需要关注最小初始值。对于 dp $i$ $j$ ，求从位置(i,j)到达终点的最小值，我们只要关心 dp $i$ $j+1$ 和 dp $i+1$ $j$ 的最小值 min，减去(i,j)位置的值，就是我们所求的dp $i$ $j$ 了 ，同时，初始值还必须大于等于 1。这样我们就可以得到状态转移方程：

状态转移方程：dp $i$ $j$ =max(min(dp $i+1$ $j$ ,dp $i$ $j+1$ )−(i,j)位置的值,1)

3、初始化

我们创建dp表就是为了把他填满，我们初始化是为了防止在填表的过程中越界

怎么谈越界？

dp表初始化:

如果我们的dp表创建成与原表大小相同，那么在处理最后一个值时，其根本没有dp $i$ $j+1$ 与dp $i+1$ $j$ ，这就会造成越界， 不仅如此，我们dp表的最后一行，也不会有dp $i+1$ $j$ ，dp表的最后一列，也不会有dp $i$ $j+1$

所以我们就需要额外的增加一行一列，来保证我们填表的时候不越界

我们在对整个dp表初始化时，我们不能让新增的值影响原有数据填表，根据状态方程我们知道，新增的值会与原数据进行一个比较，从而选择较小的那个，所以我们在整体初始化时，把所有的值初始化为INT_MAX，这样就不会影响了。

特殊位置初始化：

我们填表的第一个值是原数据的最后一个值，也就是公主所在的位置，此时，其dp $i$ $j+1$ 与dp $i+1$ $j$ 都是INT_MAX,并没有原数据在其中比较，所以根据状态转移方程我们知道，如果都是INT_MAX的话，该位置最终也会是INT_MAX，最终影响填表。该位置就是终点，这个位置的如果是正数的话，其dp值应该为1，如果是负数，那么它的dp值应该是（1-该位置的值）。所以为了保证该位置填表正确，不影响之后填表，我们需要把其dp $i$ $j+1$ 和dp $i+1$ $j$ 设置为1即可。

4、填表顺序

从下到上，从右到左依次填表

5、返回值

dp表的第一个值，也就是dp $0$ $0$

三、编写代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& d) {
  int m =d.size(),n=d[0].size();
//1、创建dp表
  vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
//2、特殊位置初始化
  dp[m-1][n]=1;
  dp[m][n-1]=1;
//3、填表
  for(int i=m-1;i>=0;i--)
  {
    for(int j=n-1;j>=0;j--)
    {
//这里我将状态转移方程拆开来写了
        dp[i][j]=min(dp[i][j+1],dp[i+1][j])-d[i][j];
        dp[i][j]=max(dp[i][j],1);
    }
  }
//4、返回值
  return dp[0][0];

    }
};