算法【A星、Floyd、Bellman-Ford、SPFA】

一、A*算法

A*算法，指定源点，指定目标点，求源点到达目标点的最短距离。增加了当前点到终点的预估函数。在堆中根据从源点出发到达当前点的距离+当前点到终点的预估距离来进行排序。剩下的所有细节和Dijskra算法完全一致。和分支限界法差不多。

预估函数要求：当前点到终点的预估距离 <= 当前点到终点的真实最短距离。

预估函数是一种吸引力

1.合适的吸引力可以提升算法的速度，吸引力过强会出现错误。

2.保证预估距离 <= 真实最短距离的情况下，尽量接近真实最短距离，可以做到功能正确且最快。

预估终点距离经常选择：曼哈顿距离、欧式距离、对角线距离。

二、Floyd算法

Floyd算法，得到图中任意两点之间的最短距离。时间复杂度O(n^3)，空间复杂度O(n^2)，常数时间小，容易实现。适用于任何图，不管有向无向、不管边权正负、但是不能有负环（保证最短路存在）。

过程简述：

distance[i][j]表示i和j之间的最短距离。

distance[i][j] = min ( distance[i][j] , distance[i][k] + distance[k][j])。

枚举所有的k即可，实现时一定要最先枚举跳板。

三、Bellman-Ford算法

Bellman-Ford算法，解决可以有负权边但是不能有负环（保证最短路存在）的图，单源最短路算法。

松弛操作

假设源点为A，从A到任意点F的最短距离为distance[F]。假设从点P出发某条边，去往点S，边权为W。如果发现，distance[P] + W < distance[S]，也就是通过该边可以让distance[S]变小，那么就说，P出发的这条边对点S进行了松弛操作。

Bellman-Ford过程

1.每一轮考察每条边，每条边都尝试进行松弛操作，那么若干点的distance会变小。

2.当某一轮发现不再有松弛操作出现时，算法停止。

Bellman-Ford算法时间复杂度

假设点的数量为N，边的数量为M，每一轮时间复杂度O(M)。最短路存在的情况下，因为1次松弛操作会使1个点的最短路的边数+1，而从源点出发到任何点的最短路最多走过全部的n个点，所以松弛的轮数必然 <= n - 1，所以Bellman-Ford算法时间复杂度O(M*N)。

重要推广：判断从某个点出发能不能到达负环。上面已经说了，如果从A出发存在最短路（没有负环），那么松弛的轮数必然 <= n - 1。而如果从A点出发到达一个负环，那么松弛操作显然会无休止地进行下去，所以，如果发现从A点出发，在第n轮时松弛操作依然存在，说明从A点出发能够到达一个负环。

四、Bellman-Ford + SPFA优化（Shortest Path Faster Algorithm）

很轻易就能发现，每一轮考察所有的边看看能否做松弛操作是不必要的。因为只有上一次被某条边松弛过的节点，所连接的边，才有可能引起下一次的松弛操作。所以用队列来维护 "这一轮哪些节点的distance变小了"。下一轮只需要对这些点的所有边，考察有没有松弛操作即可。

SPFA只优化了常数时间，在大多数情况下跑得很快，但时间复杂度为O(n*m)。看复杂度就知道只适用于小图，根据数据量谨慎使用，在没有负权边时要使用Dijkstra算法。

Bellman-Ford + SPFA优化的用途

1.适用于小图。

2.解决有负边（没有负环）的图的单源最短路径问题。

3.可以判断从某个点出发是否能遇到负环，如果想判断整张有向图有没有负环，需要设置虚拟源点。

4.并行计算时会有很大优势，因为每一轮多点判断松弛操作是相互独立的，可以交给多线程处理。

五、练习题

下面通过一些题目加深理解。

题目一

测试链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2910

分析：这个就是一个Floyd算法的模版。代码如下。

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;
int N, M;
int pass[10002];
int Distance[101][101];
int main(void){
    int ans = 0;
    scanf("%d%d", &N, &M);
    for(int i = 0;i < M;++i){
        scanf("%d", &pass[i]);
    }
    for(int i = 1;i <= N;++i){
        for(int j = 1;j <= N;++j){
            scanf("%d", &Distance[i][j]);
        }
    }
    for(int bridge = 1;bridge <= N;++bridge){
        for(int i = 1;i <= N;++i){
            for(int j = 1;j <= N;++j){
                if(Distance[i][bridge] + Distance[bridge][j] < Distance[i][j]){
                    Distance[i][j] = Distance[i][bridge] + Distance[bridge][j];
                }
            }
        }
    }
    for(int i = 0;i < M-1;++i){
        ans += (Distance[pass[i]][pass[i+1]]);
    }
    printf("%d", ans);
}

其中，中间的三重for循环就是Floyd算法。

题目二

测试链接：https://leetcode.cn/problems/cheapest-flights-within-k-stops/

分析：看到这个k站中转，可以想到使用Bellman-Ford算法，因为Bellman-Ford有一个轮数，可以想到，用轮数对应中转次数。但是并不是完全对应，因为在一轮里面可以中转多次，所以在进行松弛操作的时候，代码需要调整一下。代码如下。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<int> cur_distance;
    int findCheapestPrice(int n, vector<vector<int>>& flights, int src, int dst, int k) {
        int turn = k + 1;
        int length = flights.size();
        cur_distance.assign(n, -((1 << 31) + 1));
        cur_distance[src] = 0;
        for(int i = 0;i < turn;++i){
            vector<int> next_distance = cur_distance;
            for(int j = 0;j < length;++j){
                if(cur_distance[flights[j][0]] != -((1 << 31) + 1)){
                    next_distance[flights[j][1]] = next_distance[flights[j][1]] < cur_distance[flights[j][0]] + flights[j][2] ?
                    next_distance[flights[j][1]] : cur_distance[flights[j][0]] + flights[j][2];
                }
            }
            cur_distance = next_distance;
        }
        return cur_distance[dst] == -((1 << 31) + 1) ? -1 : cur_distance[dst];
    }
};

其中，在进行松弛操作时，使用了一个next_distance数组，表示所有的条件判断采用上一轮的状态，而不是实时更新的状态，这样就可以保证轮数对应中转次数。

题目三

测试链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3385

分析：对于是否存在复环的判断，我们可以想到，使用Bellman-Ford算法，同时，加上SPFA优化。根据松弛轮数必然小于等于点的数量减1，就可以判断是否存在负环。代码如下。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
int T;
bool ans[10];
int Head[2001];
int Next[6001];
int To[6001];
int Weight[6001];
int cnt;
vector<int> Distance;
vector<bool> enter;
void build(int n){
    Distance.clear();
    Distance.assign(n+1, -((1 << 31) + 1));
    enter.clear();
    enter.assign(n+1, false);
    for(int i = 0;i < 2001;++i){
        Head[i] = 0;
    }
    for(int i = 0;i < 6001;++i){
        Next[i] = 0;
        To[i] = 0;
        Weight[i] = 0;
    }
    cnt = 1;
}
int main(void){
    int n, m;
    int u, v, w;
    scanf("%d", &T);
    for(int i = 0;i < T;++i){
        scanf("%d%d", &n, &m);
        build(n);
        queue<int> q;
        for(int j = 0;j < m;++j){
            scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
            Next[cnt] = Head[u];
            Head[u] = cnt;
            To[cnt] = v;
            Weight[cnt] = w;
            ++cnt;
            if(w >= 0){
                Next[cnt] = Head[v];
                Head[v] = cnt;
                To[cnt] = u;
                Weight[cnt] = w;
                ++cnt;
            }
        }
        int turn = 0;
        int num, cur;
        q.push(1);
        enter[1] = true;
        Distance[1] = 0;
        while (turn <= n-1 && !q.empty())
        {
            num = q.size();
            for(int k = 0;k < num;++k){
                cur = q.front();
                q.pop();
                enter[cur] = false;
                for(int next = Head[cur];next != 0;next = Next[next]){
                    if(Distance[cur] + Weight[next] < Distance[To[next]]){
                        Distance[To[next]] = Distance[cur] + Weight[next];
                        if(enter[To[next]] == false){
                            q.push(To[next]);
                            enter[To[next]] = true;
                        }
                    }
                }
            }
            if(q.size() > 0){
                ++turn;
            }
        }
        if(turn >= n){
            ans[i] = true;
        }else{
            ans[i] = false;
        }
    }
    if(ans[0]){
        printf("YES");
    }else{
        printf("NO");
    }
    for(int i = 1;i < T;++i){
        if(ans[i]){
            printf("\nYES");
        }else{
            printf("\nNO");
        }
    }
}

其中，采用链式前向星建图；distance和enter数组按照上面讲的优化设置；当退出循环后，对轮数进行判断，从而得出是否存在负环。