数据结构——初始树和二叉树

线性结构是一对一的关系,意思就是只有唯一的前驱和唯一的后继;

非线性结构,如树形结构,它可以有多个后继,但只有一个前驱;图形结构,它可以有多个前驱,也可以有多个后继。

树的定义

树是由根和子树组成,子树又是由子树的根和子树的子树组成,是一个递归的(嵌套的)结构。

示意图如下:

树的其他表现方式

树的基本术语

这个树的根有三个后继结点,每个后继结点只有一个前驱结点。

结点:数据元素以及指向子树的分支。

根结点:非空树中无前驱结点的结点,一个树当中,只有根节点没有前驱。

结点的度:结点拥有的子树数。

树的度:树内各结点的度的最大值。 上图树的度为3。

度为0的结点称为叶子结点,也叫终端结点。

度不为0的结点称为非终端结点,也叫分支结点。

内部结点:根结点以外的分支结点。

结点的子树的根称为该结点的孩子,该结点称为孩子的双亲。

兄弟结点:有共同双亲的结点。

堂兄弟:双亲在同一层的结点。

结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点。

结点的子孙:以某结点为根的子树中的任一节点。

树的深度:树中结点的最大层次。

有序树:树中结点的各子树从左至右有次序(最左边的为第一个孩子)。

无序树:树中结点的各子树无次序。

森林:是m(m>=0)棵互不相交的树的集合。

(1)把根节点删除树就变成了森林。

(2)一棵树可以看成一个特殊的森林。

(3)给森林中的各子树加上一个双亲结点,森林就变成了树。

树结构和线性结构的比较

|------------------|---------------------------|
| 线性结构 | 树结构 |
| 第一个元素(无前驱) | 根节点(无双亲) |
| 最后一个元素(无后继) | 叶子结点(无孩子) |
| 其他数据元素(一个前驱一个后继) | 其他结点------中间结点(一个双亲,多个孩子) |
| 一对一 | 一对多 |

二叉树的定义

为何要重点研究每结点最多只有两个的树?

  • 二叉树的结构最简单,规律性最强;可以证明,所有树都能转为唯一对应的二又树,不失一般性。
  • 普通树(多又树)若不转化为二又树,则运算很难实现

二叉树在树结构的应用中起着非常重要的作用,因为对二叉的许多操作算法简单,而任何树

都可以与二叉树相互转换,这样就解决了树的存储结构及其运算中存在的复杂性。

二叉树是 n(n≥0)个结点的有限集,它或者是空集(n=0),或者由一个根结点及两棵互不相交的分别

称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。

特点:

1、每个结点最多有两个孩子(二叉树中不存在度大于2的结点)。

2、子树有左右之分,其次序不能颠倒。

3、二叉树可以是空集合,根可以有空的左子树或空的右子树。

注意:二叉树不是树的特殊情况,它们是两个概念。

二叉树结点的子树要区分左子树和右子树,即使只有一棵树也要进行区分,说明它是左子树还是右子树。

(也就是二叉树每个结点位置或者说次序都是固定的,可以是空,但是不可以说它没有位置,而树的结点位置是相对于别的结点来说的,没有别的结点时,它就无所谓左右了)。

二叉树的5种基本形态

注:虽然二叉树和树的概念不同,但有关树的基本术语对二叉树都适用。

二叉树的性质
  1. 在二叉树的第i层上至多有个结点
  2. 深度为k的二叉树至多有-1个结点
  3. 对于任何一颗二叉树,如果其终端节点数为n,度为2的节点数为m,则n=m+1

满二叉树:深度为k且含有-1个结点的二叉树,即每i层都有个结点

完全二叉树:深度为k的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时,称之为完全二叉树。

完全二叉树的特点:

(1)叶子结点只可能在层次最大的两层上出现;

(2)对任一结点,若其右分支下的子孙的最大层次为l,则其左分支下的子孙的最大层次必为1或l+1。

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