【C++】AVL树 - 技术栈

一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查

找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。从原来的时间复杂度O(logn)转变为O(n)

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树 高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/1/0)

二、AVL树节点的定义

AVL的概念：左右子树高度差不超过1

因此要在二叉搜索树上增加一个平衡因子(来记录左右子树的高度差)，当平衡因子超过1时，就要更新向上调整父节点的平衡因子(因为子节点的平衡因子发生变化，间接的导致父节点的平衡因子发生改变)，这时就要知道父节点的位置，因此在二叉搜索树上要多维护一个父节点的指针。

复制代码

struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _key;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf; // balance fatcor
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& key)
		: _key(key)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

三、AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整节点的平衡因子

下面是二叉搜索树的插入，这个树的结构是左子树小于根，右子树大于根。

复制代码

	bool Insert(const pair<K, V>& key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key.first < key.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key.first > key.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(key);
		if (parent->_key.first < key.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else {
			parent->_left = cur;
		}
}

调整节点的平衡因子

插入新节点，会影响部分祖先节点的平衡因子，因此要不断的更新平衡因子。

插入在左子树，parent平衡因子--

插入在右子树，parent平衡因子++

1、parent的平衡因子 == 0

parent的平衡因子更新前是 1 or -1，插入节点插入在矮的那边。parent所在子树的高度不变，不需要继续往上更新

2、parent的平衡因子 == 1 / -1

说明parent的平衡因子更新前是0，插入节点插入在任意一边。parent所在的子树高度都会变化了，需要继续往上更新

3、parent的平衡因子 == 2 / -2

说明parent的平衡因子更新前是1 / -1，插入节点插入在高的那边，进一步加剧了parent所在子树的不平衡，所以要发生旋转，旋转后要更新平衡因子

复制代码

		// 因为因为父节点要连接一下父节点的位置
        cur->_parent = parent;
		// 更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//旋转处理
			}
			else {
				assert(false);
			}
		}

3.1 AVL左单旋

上面图中的h可以认为是抽象图，就是二叉树搜索树的分支。

上面的图可以认为在subR的右子树(记住是右子树)中任意插入一个节点，使右子树的高度+1，导致subR的平衡因子发生改变，从而影响parent的平衡因子变成了2，从而发生旋转。发生左旋转的条件是什么？是parent的平衡因子为2，subR的平衡因子为1时发生左旋转。

代码实现一下

复制代码

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;

		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		Node* parentParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (parentParent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else {
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else {
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

3.2 AVL右单旋

subL为parent的左子树，subLR为subL的右子树，当a这个位置高度变为h+1时，parent平衡因子为-2，subL平衡因子为-1时，此时发生右旋转，parent的左子树变为subLR，subL变为父节点且右子树为parent

代码实现一下

复制代码

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		if (parentParent == nullptr)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subL;
			}

			subL->_parent = parentParent;
		}
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

3. 2 左右双旋

左旋

如果subRL这个二叉树中高度增加1时也就是说当parent的平衡因子为2，subR的平衡因子为-1时左单旋，我们不难发现旋转的结果与预期不符

右旋如果subLR这个二叉树高度增加1时也就是说parent的平衡因子为-2，subL的平衡因子为1时进行右单旋，旋转的结果与预期不符。旋来旋去发现高度没有变化。

如何解决parent的平衡因子为2，subR的平衡因子为-1的问题？

上图就是解决方式，增加节点后的第二个图，90为parent进行右旋到第三张图，之后30再变成parent进行左旋。

这里最麻烦的是平衡因子的维护

当h == 0时

也就是说subRL这个节点为新增节点，subRL与parent与subR平衡因子都为0。

当h > 0 时

因为增加节点有可能在b或者在c，不能确定parent这个位置平衡因子是-1/0还是subR这个位置的平衡因子是0/1，如何解决呢？

我们记录一下插入节点后subRL的平衡因子，如果subRL的平衡因子为1，经过左右双旋后，parent平衡因子为-1，subR为0，subRL为0。如果subRL的平衡因子为-1，经过左右双旋后，parent的平衡因子为0，subR为1，subRL为0。

代码实现

复制代码

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

如何解决parent的平衡因子为-2，subR的平衡因子为1的问题？

上图就是解决方式，增加节点后的第二个图，30为parent进行左旋到第三张图，之后90再变成parent进行右旋。

平衡因子的维护

这里也要分三种情况来进行判断

当h == 0时

subRL为新插入节点时，parent的平衡因子与subL和subLR都为0

当h > 0时

新增节点插入b位置时，subLR的平衡因子为-1时，双旋后parent的平衡因子为1，subL和subLR的平衡因子为0。

新增节点插入c位置时，subLR的平衡因子为1时，双旋后parent的平衡因子为0，subL的平衡因子为-1，subLR的平衡因子为0。

代码实现

复制代码

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else {
			assert(false);
		}
	}