本题中，在不含截距的简单线性回归中，用零假设对
统计量进行假设检验。首先，我们使用下面方法生成预测变量x和响应变量y。
R
set.seed(1)
x <- rnorm(100)
y <- 2*x+rnorm(100)（a）不含截距的线性回归模型构建。
（1）建立y关于x的不含截距项的简单线性回归。估计系数及其标准差、t 统计量和与零假设相关的p值。分析这些结果。
这里我们使用下面代码实现没有截距的简单线性回归。
R
lm(y~x+0)代码如下：
R
set.seed(1)
x = rnorm(100)
y = 2*x + rnorm(100)
lm.fit = lm(y~x+0)
summary(lm.fit)输出结果：
R
Call:
lm(formula = y ~ x + 0)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.9154 -0.6472 -0.1771 0.5056 2.3109
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
x 1.9939 0.1065 18.73 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.9586 on 99 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7798, Adjusted R-squared: 0.7776
F-statistic: 350.7 on 1 and 99 DF, p-value: < 2.2e-16由输出结果得出：
简单线性回归方程：
其中：
其中：t 统计量的 p 值接近于零，因此拒绝原假设。t 统计量的 p 值接近于零，因此拒绝原假设。
（b）参数估计。
（2）建立x关于y的不含截距项的简单线性回归。估计系数及其标准差、t 统计量和与零假设相关的p值。分析这些结果。
R
lm.fit = lm(x~y+0)
summary(lm.fit)输出结果：
R
Call:
lm(formula = x ~ y + 0)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.8699 -0.2368 0.1030 0.2858 0.8938
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
y 0.39111 0.02089 18.73 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.4246 on 99 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7798, Adjusted R-squared: 0.7776
F-statistic: 350.7 on 1 and 99 DF, p-value: < 2.2e-16由输出结果得出：
简单线性回归方程：
其中：
其中： t 统计量的 p 值接近于零，因此拒绝原假设。
（c）模型结果分析。
（3）（1）和（2）所得到的结果有什么关系？
（1）和（2）的结果反映了同一个线性关系模型，
和
在一定程度上是等价的线性关系模型，他们的 t 值都等于 18.73。
（d）t 统计量检验证明。
（4）对于y对x的不含截距的简单线性回归，零假设： 的 t 统计量具有
的形式，其中
由下式给出，其中：
用代数的方法证明上面式子可以写成如下形式，并在R中进行确认。
证明：
R语言验证：
R
sqrt(length(x)-1) * sum(x*y)) / (sqrt(sum(x*x) * sum(y*y) - (sum(x*y))^2)
R
[1] 18.72593由输出结果得出：这与上面显示的 t 统计量相同。
（e）简单线性回归中y对x回归与x对y回归的 t 统计量相等。
（f2）无截距情况证明：
（5）用（4）的结果证明y对x回归与x对y回归的 t 统计量相等。
如果你把 t（x，y） 换成 t（y，x），那么你会发现 t（x，y） = t（y，x）。
（f2）有截距情况证明：
(6）在R中证明在截距的回归中，零假设： 的 t 统计量在y对x的回归中和x对y的回归中是一样的。
代码如下：
R
lm.fit = lm(y~x)
lm.fit2 = lm(x~y)
R
summary(lm.fit)输出:
R
Call:
lm(formula = y ~ x)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.8768 -0.6138 -0.1395 0.5394 2.3462
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.03769 0.09699 -0.389 0.698
x 1.99894 0.10773 18.556 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.9628 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7784, Adjusted R-squared: 0.7762
F-statistic: 344.3 on 1 and 98 DF, p-value: < 2.2e-16
R
summary(lm.fit2)输出：
R
Call:
lm(formula = x ~ y)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.90848 -0.28101 0.06274 0.24570 0.85736
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.03880 0.04266 0.91 0.365
y 0.38942 0.02099 18.56 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.4249 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7784, Adjusted R-squared: 0.7762
F-statistic: 344.3 on 1 and 98 DF, p-value: < 2.2e-16由表格结果，零假设： 的 t 统计量在y对x的回归中为18.556，在x对y的回归中为18.556，说明在截距的回归中，零假设：
的 t 统计量在y对x的回归中和x对y的回归中是一样的。