矩阵学习过程中的一些思考

2024.09.27(学习鸢尾花书_矩阵力量_Ch20)

(1)所有中心过原点的椭圆都可以用一个二维矩阵表示,且特征值表示长短轴长度,特征向量表示长短轴所在方向的单位向量(表征椭圆旋转方向);

(2)一个矩阵可以看做一个对一个向量的线性变化,把这个矩阵进行特征值分解

Q = V A V T Q = VAV^T Q=VAVT

其中,V是特征向量,A是特征值矩阵。可以理解为A负责对原空间向量在各维度上的缩放,V主要负责旋转。故若原空间有一个封闭图形,则经过Q的变化后,只有A对其面积/体积产生影响,而行列式与体积/面积有关。|Q|即代表该变化对原空间封闭图形面积带来的影响,而又因为只有A对其面积/体积产生影响,故
∣ Q ∣ = ∣ A ∣ |Q| = |A| ∣Q∣=∣A∣

而A是对角矩阵,其行列式即为其对角元素的乘积,故特征值矩阵对角元素的乘积,即为原矩阵的特征值。
各个特征值的乘积即可理解为封闭图形从原空间到新空间,各个维度的拉伸情况,相乘即代表其体积的变化

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