集合论(ZFC)之 联合公理(Axiom of Union)注解

集合论(ZFC)之 联合公理(Axiom of Union)定义了集合的联合(Union)操作,其符号为 ⋃,定义如下:

给定任意集合X,存在一个集合 Y,有 Y = ⋃ X,记为

∀X∃Y∀u(u∈Y ↔ ∃z(z∈X ∧ u ∈ z))

意思是,集合Y的元素,由 集合 X 中所有集合的元素所构成。也就是说,集合X 是集合的集合,集合Y是集合X中所有集合的联合(Union)。

同时,通过外延性公理,可以证明,集合 Y = ⋃ X 的唯一性,即,给定任意集合X,存在一个集合 Y,有 Y = ⋃ X,且该集合Y是唯一的,也就是 集合X的联集(Union Set)是唯一的。如果存在两个集合X的联集,那么两者相等。

因此,可以定义两集合的联合操作为,

A ⋃ B = ⋃ {A, B} ,即 X = {A, B}

以及,

A ⋃ B ⋃ C = ( A ⋃ B ) ⋃ C = ⋃ { ( A ⋃ B ) , C } = ⋃ { ⋃ {A, B} , C }

等等。

也有,

{ a, b, c } = { a, b } ⋃ { c }

{a₁,...,aₙ} = {a₁} ⋃ ... ⋃ {aₙ}

由此可定义**对称差(Symmetric difference)**操作:

X Δ Y = ( X - Y ) ⋃ (Y - X)

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