【机器学习-无监督学习】降维与主成分分析

【作者主页】Francek Chen

【专栏介绍】⌈ ⌈ ⌈Python机器学习 ⌋ ⌋ ⌋ 机器学习是一门人工智能的分支学科，通过算法和模型让计算机从数据中学习，进行模型训练和优化，做出预测、分类和决策支持。Python成为机器学习的首选语言，依赖于强大的开源库如Scikit-learn、TensorFlow和PyTorch。本专栏介绍机器学习的相关算法以及基于Python的算法实现。

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在上一篇文章聚类中，我们介绍了无监督学习的重要问题之一：聚类问题，并主要讲解了k均值算法。结尾处我们提到，在解决复杂聚类问题时，第一步通常不会直接使用k均值算法，而是会先用其他手段提取数据的有用特征。对于高维复杂数据来说，其不同维度代表的特征可能存在关联，还有可能存在无意义的噪声干扰。因此，无论后续任务是有监督学习还是无监督学习，我们都希望能先从中提取出具有代表性、能最大限度保留数据本身信息的几个特征，从而降低数据维度，简化之后的分析和计算。这一过程通常称为数据降维（dimensionality reduction），同样是无监督学习中的重要问题。本文就来介绍数据降维中最经典的算法------主成分分析（principal component analysis，PCA）。

一、降维

（一）维数灾难

维数灾难（Curse of Dimensionality）通常是指在涉及到向量的计算的问题中，随着维数的增加，计算量呈指数倍增长的一种现象。在很多机器学习问题中，训练集中的每条数据经常伴随着上千、甚至上万个特征。要处理这所有的特征的话，不仅会让训练非常缓慢，还会极大增加搜寻良好解决方案的困难。这个问题就是我们常说的维数灾难。

图1 维数灾难

维数灾难涉及数字分析、抽样、组合、机器学习、数据挖掘和数据库等诸多领域。在机器学习的建模过程中，通常指的是随着特征数量的增多，计算量会变得很大，如特征达到上亿维的话，在进行计算的时候是算不出来的。有的时候，维度太大也会导致机器学习性能的下降，并不是特征维度越大越好，模型的性能会随着特征的增加先上升后下降。

（二）降维概述

1. 什么是降维？

降维（Dimensionality Reduction）是将训练数据中的样本（实例）从高维空间转换到低维空间，该过程与信息论中有损压缩概念密切相关。同时要明白的，不存在完全无损的降维。有很多种算法可以完成对原始数据的降维，在这些方法中，降维是通过对原始数据的线性变换实现的。

2. 为什么要降维

高维数据增加了运算的难度。
高维使得学习算法的泛化能力变弱（例如，在最近邻分类器中，样本复杂度随着维度成指数增长），维度越高，算法的搜索难度和成本就越大。
降维能够增加数据的可读性，利于发掘数据的有意义的结构。

3. 降维的主要作用

（1）减少冗余特征，降低数据维度

假设我们有两个特征： x 1 x_1 x1：长度用厘米表示的身高； x 2 x_2 x2：是用英寸表示的身高。这两个分开的特征 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2，实际上表示的内容相同，这样其实可以减少数据到一维，只有一个特征表示身高就够了。很多特征具有线性关系，具有线性关系的特征很多都是几余的特征，去掉冗余特征对机器学习的计算结果不会有影响。

（2）数据可视化

t-distributed Stochastic Neighbor Embedding（t-SNE）将数据点之间的相似度转换为概率。原始空间中的相似度由高斯联合概率表示，嵌入空间的相似度由"学生t分布"表示。虽然Isomap，LLE和variants等数据降维和可视化方法，更适合展开单个连续的低维的manifold。但如果要准确的可视化样本间的相似度关系，如对于下图所示的S曲线（不同颜色的图像表示不同类别的数据），t-SNE表现更好。因为t-SNE主要是关注数据的局部结构。

4. 降维的优缺点

降维的优点：

通过减少特征的维数，数据集存储所需的空间也相应减少，减少了特征维数所需的计算训练时间；
数据集特征的降维有助于快速可视化数据；
通过处理多重共线性消除冗余特征。

降维的缺点：

由于降维可能会丢失一些数据；
在主成分分析（PCA）降维技术中，有时需要考虑多少主成分是难以确定的，往往使用经验法则。

二、主成分与方差

顾名思义，PCA的含义是将高维数据中的主要成分找出来。设原始数据 D = { x 1 , x 2 , ⋯ , x m } \mathcal D=\{\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,\cdots,\boldsymbol x_m\} D={x1,x2,⋯,xm}，其中 x i ∈ R d \boldsymbol x_i\in\mathbb R^d xi∈Rd。我们的目标是通过某种变换 f : R d → R k f:\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R^k f:Rd→Rk，将数据的维度从 d d d减小到 k k k，且通常 k ≪ d k\ll d k≪d。变换后的数据不同维度之间线性无关，这些维度就称为主成分。也就是说，如果将变换后的数据排成矩阵 Z = ( z 1 , ⋯ , z m ) T \boldsymbol Z=(\boldsymbol z_1,\cdots,\boldsymbol z_m)^{\mathrm T} Z=(z1,⋯,zm)T，其中 z i = f ( x i ) \boldsymbol z_i=f(\boldsymbol x_i) zi=f(xi)，那么 Z \boldsymbol Z Z的列向量是线性无关的。从矩阵的知识可以立即得到 k < m k<m k<m。

PCA算法不仅希望变换后的数据特征线性无关，更要求这些特征之间相互独立，也即任意两个不同特征之间的协方差为零。因此，PCA算法在计算数据的主成分时，会从第一个主成分开始依次计算，并保证每个主成分与之前的所有主成分都是正交的，直到选取了预先设定的 k k k个主成分为止。关于主成分选取的规则，我们以一个平面上的二元高斯分布为例来具体说明。如图2(a)所示，数据点服从以 ( 3 , 3 ) (3,3) (3,3)为中心、 x 1 x_1 x1方向方差为1.5、 x 2 x_2 x2方向方差为0.5、协方差为0.8的二元高斯分布。从图中可以明显看出，当前的 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2两个特征之间存在关联，并不是独立的。

图2 一个二元高斯分布和两个维度的投影情况

图2(b)展示了数据分别向 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2方向投影的结果。由于 x 1 x_1 x1方向方差更大，数据在该方向的投影分布也更广。也就是说，数据向 x 1 x_1 x1方向的投影保留了更多信息， x 1 x_1 x1是一个比 x 2 x_2 x2更好的特征。如果我们不再把目光局限于 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2两个方向，而是考虑平面上的任意一个方向，那么如左图中红色虚线所示，沿直线 x 2 = 0.557 x 1 + 1.330 x_2=0.557x_1+1.330 x2=0.557x1+1.330 的方向数据的方差是最大的，我们应当将此方向作为数据的特征之一。既然PCA算法希望选出的主成分保留最多的信息，那么就应当不断选取数据方差最大的方向作为主成分。因此，PCA计算的过程就是依次寻找方差最大方向的过程。

为了方便计算，我们通常要先对数据进行中心化，把当前每个特征都变为均值为0的分布。用 x i ( j ) x_i^{(j)} xi(j)表示数据 x i \boldsymbol x_i xi的第 j j j个维度，那么均值 μ j \mu_j μj为 μ j = 1 m ∑ i = 1 m x i ( j ) , j = 1 , ⋯ , d \mu_j=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i^{(j)}, \quad j=1,\cdots,d μj=m1i=1∑mxi(j),j=1,⋯,d 将数据中心化，得到 x i ( j ) ← x i ( j ) − μ j , i = 1 , ⋯ , m x_i^{(j)}\leftarrow x_i^{(j)}-\mu_j, \quad i=1,\cdots,m xi(j)←xi(j)−μj,i=1,⋯,m

以图2(a)的高斯分布为例，变换后的图像如图3(b)所示，其中心点已经从 ( 3 , 3 ) (3,3) (3,3)变为了 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)。接下来在讨论时，我们默认数据都已经被中心化。下面，我们就来具体讲解如何寻找数据中方差最大的方向。

图3 数据的中心化

三、利用特征分解进行PCA

为了找到方差最大的方向，我们先来计算样本在某个方向上的投影。设 u \boldsymbol u u为方向向量，满足 ∥ u ∥ = 1 \Vert\boldsymbol u\Vert=1 ∥u∥=1，向量 x \boldsymbol x x在方向 u \boldsymbol u u上的投影为 x T u \boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol u xTu。于是所有样本在方向 u \boldsymbol u u上的方差为
σ u = 1 m ∑ i = 1 m ( x i T u ) 2 = 1 m ∑ i = 1 m u T x i x i T u = u T ( 1 m ∑ i = 1 m x i x i T ) u = u T Σ u \begin{aligned} \sigma_{\boldsymbol u} &= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol u)^2 \\ &=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\left(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\right)\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u \end{aligned} σu=m1i=1∑m(xiTu)2=m1i=1∑muTxixiTu=uT(m1i=1∑mxixiT)u=uTΣu

矩阵 Σ = 1 m ∑ i = 1 m x i x i T ∈ R d × d \boldsymbol\Sigma=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T} \in \mathbb R^{d\times d} Σ=m1i=1∑mxixiT∈Rd×d 称为样本的协方差矩阵。由于 m m m是常数，简单起见，下面省略因子 1 m \frac{1}{m} m1。要令方差最大，就相当于求解下面的优化问题 max ⁡ u u T Σ u s.t. ∥ u ∥ = 1 \max_{\boldsymbol u}\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u \quad \text{s.t.}\Vert\boldsymbol u\Vert=1 umaxuTΣus.t.∥u∥=1

在求解该问题之前，我们先来介绍矩阵的特征值（eigenvalue）与特征分解（eigendecomposition）相关的知识。对于方阵 A ∈ R n × n \boldsymbol A\in\mathbb R^{n\times n} A∈Rn×n，如果向量 ξ ∈ R n \boldsymbol\xi\in\mathbb R^n ξ∈Rn 与实数 λ \lambda λ满足 A ξ = λ ξ \boldsymbol A\boldsymbol\xi=\lambda\boldsymbol\xi Aξ=λξ，就称 λ \lambda λ是矩阵 A \boldsymbol A A的特征值， ξ \boldsymbol\xi ξ为矩阵的特征向量。特征向量 x \boldsymbol x x的任意非零实数倍 r x r\boldsymbol x rx满足 A ( r x ) = r ( A x ) = r ( λ x ) = λ ( r x ) \boldsymbol A(r\boldsymbol x)=r(\boldsymbol A\boldsymbol x)=r(\lambda\boldsymbol x)=\lambda(r\boldsymbol x) A(rx)=r(Ax)=r(λx)=λ(rx) 因而 r x r\boldsymbol x rx也还是特征向量。简单来说，矩阵 A \boldsymbol A A作用到其特征向量 x \boldsymbol x x上的结果等价于对该向量做伸缩变换，伸缩的倍数等于特征值 λ \lambda λ，但不改变向量所在的直线。从这个角度来看， r x r\boldsymbol x rx与 x \boldsymbol x x共线， r x r\boldsymbol x rx自然就是特征向量。因此，我们通常更关心单位特征向量，即长度为1的特征向量。例如，矩阵
A = ( 2 1 0 1 ) \boldsymbol A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 &1\\ \end{pmatrix} A=(2011) 的特征值及其对应的单位特征向量有两组，分别为 λ 1 = 1 \lambda_1=1 λ1=1， ξ 1 = ( − 1 , 1 ) T \xi_1=(-1,1)^{\mathrm T} ξ1=(−1,1)T 和 λ 2 = 2 \lambda_2=2 λ2=2， ξ 2 = ( 1 , 0 ) T \xi_2=(1,0)^{\mathrm T} ξ2=(1,0)T，大家可以自行计算验证。显然，对角矩阵 diag ( d 1 , ⋯ , d n ) \text{diag}(d_1,\cdots,d_n) diag(d1,⋯,dn)的特征值就等于其对角线上的元素 d 1 , ⋯ , d n d_1,\cdots,d_n d1,⋯,dn。特别地， n n n阶单位阵 I n \boldsymbol I_n In的特征值是1，且空间中的所有向量都是该特征值对应的特征向量。

我们可以从线性变换的角度来理解矩阵的特征值和特征向量。一个 n n n阶方阵 A \boldsymbol A A可以看作是 n n n维空间中的变换，将 n n n维向量 x \boldsymbol x x变为另一个 n n n维向量 A x \boldsymbol A\boldsymbol x Ax。由于 A ( x 1 + x 2 ) = A x 1 + A x 2 \boldsymbol A(\boldsymbol x_1+\boldsymbol x_2)=\boldsymbol A\boldsymbol x_1+\boldsymbol A\boldsymbol x_2 A(x1+x2)=Ax1+Ax2 以及 A ( r x 1 ) = r A x 1 \boldsymbol A(r\boldsymbol x_1)=r\boldsymbol A\boldsymbol x_1 A(rx1)=rAx1 对任意向量 x 1 \boldsymbol x_1 x1、 x 2 \boldsymbol x_2 x2和实数 r r r成立，该变换是一个线性变换。事实上，当坐标轴确定之后，线性变换与矩阵之间有一一对应关系。如果把向量都看作从原点指向向量所表示坐标的有向线段，可以证明，任意一个线性变换总可以分解成绕原点旋转和长度伸缩的组合。因此，矩阵与向量相乘 A x \boldsymbol A\boldsymbol x Ax可以理解为将向量 x \boldsymbol x x旋转某一角度，再将长度变为某一倍数。而矩阵的特征向量，就是在该变换作用下只伸缩不旋转的向量，并且其对应的特征值就是伸缩的倍数。当特征值 λ > 0 \lambda>0 λ>0 时，变换后的向量与原向量方向相同； λ < 0 \lambda<0 λ<0 时方向相反； λ = 0 \lambda=0 λ=0 则表示矩阵会把所有该直线上的向量压缩为零向量。

从这一角度继续，我们可以引入正定矩阵（positive definite）和半正定矩阵（positive semidefinite）的概念。如果对任意非零向量 x \boldsymbol x x，都有 x T A x ≥ 0 \boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol A\boldsymbol x\ge0 xTAx≥0，就称 A \boldsymbol A A为半正定矩阵；如果严格有 x T A x > 0 \boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol A\boldsymbol x>0 xTAx>0，就称 A \boldsymbol A A为正定矩阵。如果将 y = A x \boldsymbol y=\boldsymbol A\boldsymbol x y=Ax 看作变换后的向量，那么 x T y ≥ 0 \boldsymbol x^{\mathrm T}y\ge0 xTy≥0 就表示 x \boldsymbol x x与 y \boldsymbol y y之间的夹角小于等于90°。由此，我们可以立即得到半正定矩阵的所有特征值都非负，否则负特征值会使特征向量在变换后反向，与原向量夹角为180°，产生矛盾。

为什么我们要引入半正定矩阵呢？在上面的优化问题中，我们得到的目标函数是 u T Σ u \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u uTΣu，其中 Σ \boldsymbol\Sigma Σ是协方差矩阵。事实上，该矩阵一定是半正定矩阵。设 y \boldsymbol y y是任一非零向量，那么 y T Σ y = y T ( ∑ i = 1 m x i x i T ) y = ∑ i = 1 m y T x i x i T y = ∑ i = 1 m ( x i T y ) 2 ≥ 0 \boldsymbol y^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol y=\boldsymbol y^{\mathrm T}\left(\sum_{i=1}^m\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\right)\boldsymbol y=\sum_{i=1}^m\boldsymbol y^{\mathrm T}\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol y=\sum_{i=1}^m(\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol y)^2 \ge 0 yTΣy=yT(i=1∑mxixiT)y=i=1∑myTxixiTy=i=1∑m(xiTy)2≥0

根据定义， Σ \boldsymbol\Sigma Σ是半正定矩阵。因此，我们可以用半正定矩阵的一些性质来帮助我们求解该优化问题。这里，我们不加证明地给出一条重要性质：对于 d d d阶对称半正定矩阵 Σ \boldsymbol\Sigma Σ，总可以找到它的 d d d个单位特征向量 e 1 , ⋯ , e d \boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d e1,⋯,ed，使得这些特征向量是两两正交的，也即对任意 1 ≤ i 1\le i 1≤i， j ≤ d j\le d j≤d，都有 ∥ e i ∥ = 1 , e i T e j = { 1 , i = j 0 , i ≠ j \Vert\boldsymbol e_i\Vert=1, \quad \boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j=\begin{cases}1, \quad i=j \\ 0, \quad i \ne j\end{cases} ∥ei∥=1,eiTej={1,i=j0,i=j 有兴趣的可以在线性代数的相关资料中找到该性质的证明。利用该性质，记 Q = ( e 1 , ⋯ , e d ) ∈ R d × d \boldsymbol Q=(\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d)\in\mathbb R^{d\times d} Q=(e1,⋯,ed)∈Rd×d，有 ( Q T Q ) i j = e i T e j = I ( i = j ) (\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol Q){ij}=\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j=\mathbb I(i=j) (QTQ)ij=eiTej=I(i=j) 于是， Q T Q \boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol Q QTQ对角线上的元素全部为1，其他元素全部为0，恰好是单位矩阵 I d \boldsymbol I_d Id。因此， Q \boldsymbol Q Q的逆矩阵就是其转置， Q − 1 = Q T \boldsymbol Q^{-1}=\boldsymbol Q^{\mathrm T} Q−1=QT。因为组成该矩阵的向量是相互正交的，我们将这样的矩阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。根据逆矩阵的性质，我们有 I d = Q T Q = Q Q T = ( e 1 , ⋯ , e d ) ( e 1 T ⋮ e d T ) = ∑ i = 1 d e i e i T \boldsymbol I_d=\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol Q=\boldsymbol Q\boldsymbol Q^{\mathrm T}=(\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d)\left(\begin{matrix}\boldsymbol e_1^{\mathrm T} \\ \vdots \\ \boldsymbol e_d^{\mathrm T}\end{matrix}\right)=\sum{i=1}^d\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T} Id=QTQ=QQT=(e1,⋯,ed) e1T⋮edT =i=1∑deieiT 设特征向量 e i \boldsymbol e_i ei对应的特征值是 λ i \lambda_i λi，那么矩阵 Σ \boldsymbol\Sigma Σ可以写为
Σ = Σ I d = Σ ∑ i = 1 d e i e i T = ∑ i = 1 d ( Σ e i ) e i T = ∑ i = 1 d λ i e i e i T = ( e 1 , e 2 , ⋯ , e d ) ( λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ d ) ( e 1 T e 2 T ⋮ e d T ) = Q Λ Q T \begin{aligned} \boldsymbol\Sigma &= \boldsymbol\Sigma\boldsymbol I_d = \boldsymbol\Sigma\sum_{i=1}^d\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T} = \sum_{i=1}^d(\boldsymbol\Sigma\boldsymbol e_i)\boldsymbol e_i^{\mathrm T} = \sum_{i=1}^d\lambda_i\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T} \\[3ex] &= (\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\cdots,\boldsymbol e_d)\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\boldsymbol e_1^{\mathrm T} \\ \boldsymbol e_2^{\mathrm T} \\ \vdots \\ \boldsymbol e_d^{\mathrm T}\end{pmatrix} \\[2ex] &= \boldsymbol Q\boldsymbol\Lambda\boldsymbol Q^{\mathrm T} \end{aligned} Σ=ΣId=Σi=1∑deieiT=i=1∑d(Σei)eiT=i=1∑dλieieiT=(e1,e2,⋯,ed) λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λd e1Te2T⋮edT =QΛQT 其中， Λ = diag ( λ 1 , ⋯ , λ d ) \boldsymbol\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_d) Λ=diag(λ1,⋯,λd) 是由特征向量所对应的特征值依次排列而成的对角矩阵。上式表明，一个半正定矩阵可以分解成3个矩阵的乘积，其中 Q \boldsymbol Q Q是其正交的特征向量构成的正交矩阵， Λ \boldsymbol\Lambda Λ是其特征值构成的对角矩阵，这样的分解就称为矩阵的特征分解。

利用特征分解，我们可以很容易地计算 u T Σ u \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u uTΣu的值。首先，由于 e 1 , ⋯ , e d \boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d e1,⋯,ed是维空间中的个正交向量， u \boldsymbol u u一定可以唯一表示成这些向量的线性组合，即 u = ∑ i = 1 d α i e i \boldsymbol u=\sum\limits_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_i u=i=1∑dαiei，其中系数 α i \alpha_i αi等于向量 u \boldsymbol u u在 e i \boldsymbol e_i ei方向上的投影长度。我们可以将这组向量想象成相互垂直的坐标轴，而 ( α 1 , ⋯ , α d ) (\alpha_1,\cdots,\alpha_d) (α1,⋯,αd)就相当于 u \boldsymbol u u在这组坐标轴下的坐标。这样， Q T u \boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol u QTu可以化为
Q T u = Q T ∑ i = 1 d α i e i = ( ∑ i = 1 d α i e 1 T e i ⋮ ∑ i = 1 d α i e d T e i ) = ( α 1 , ⋯ , α d ) = α \begin{aligned} \boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol u=\boldsymbol Q^{\mathrm T}\sum_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_i = \begin{pmatrix}\sum\limits_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_1^{\mathrm T}\boldsymbol e_i \\ \vdots \\ \sum\limits_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_d^{\mathrm T}\boldsymbol e_i\end{pmatrix} = (\alpha_1,\cdots,\alpha_d)=\boldsymbol\alpha \end{aligned} QTu=QTi=1∑dαiei= i=1∑dαie1Tei⋮i=1∑dαiedTei =(α1,⋯,αd)=α 这里，我们用到了 e i T e j = I ( i = j ) \boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j=\mathbb I(i=j) eiTej=I(i=j) 的性质，把求和中 e i T e j \boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j eiTej都消去了。接下来， u T Σ u \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u uTΣu可以计算得： u T u = u T Q Λ Q T u = α T Λ α = ∑ i = 1 d λ i α i 2 \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol u=\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol Q\boldsymbol\Lambda\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol u=\boldsymbol\alpha^{\mathrm T}\boldsymbol\Lambda\boldsymbol\alpha=\sum_{i=1}^d\lambda_i\alpha_i^2 uTu=uTQΛQTu=αTΛα=i=1∑dλiαi2

在上面的优化问题 max ⁡ u u T Σ u s.t. ∥ u ∥ = 1 \max\limits_{\boldsymbol u}\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u \ \ \text{s.t.}\Vert\boldsymbol u\Vert=1 umaxuTΣu s.t.∥u∥=1 中，我们还要求 u \boldsymbol u u是方向向量，即 ∥ u ∥ = 1 \Vert\boldsymbol u\Vert=1 ∥u∥=1。这一要求给系数 α i \alpha_i αi添加了限定条件：
∑ i = 1 d α i 2 = ∑ i = 1 d ( u T e i ) 2 = ∑ i = 1 d u T e i e i T u = u T ( ∑ i = 1 d e i e i T ) u = u T I d u = u T u = ∥ u ∥ 2 = 1 \begin{aligned} \sum_{i=1}^d\alpha_i^2 &= \sum_{i=1}^d(\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol e_i)^2=\sum_{i=1}^d\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\left(\sum_{i=1}^d\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\right)\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol I_d\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol u = \Vert\boldsymbol u\Vert^2=1 \end{aligned} i=1∑dαi2=i=1∑d(uTei)2=i=1∑duTeieiTu=uT(i=1∑deieiT)u=uTIdu=uTu=∥u∥2=1 因此，原优化问题等价于 max ⁡ u ∑ i = 1 d λ i α i 2 , s.t. ∑ i = 1 d α i 2 = 1 \max_{\boldsymbol u}\sum_{i=1}^d\lambda_i\alpha_i^2, \quad \text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^d\alpha_i^2=1 umaxi=1∑dλiαi2,s.t.i=1∑dαi2=1

由于 Σ \boldsymbol\Sigma Σ是半正定矩阵，其特征值 λ i \lambda_i λi必定非负，该问题的解就是 Σ \boldsymbol\Sigma Σ的最大特征值 λ max ⁡ \lambda_{\max} λmax，不妨设其为 λ u \lambda_u λu。为了使上式取到最大值，应当有 α u = u T e u = 1 \alpha_{\boldsymbol u}=\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol e_{\boldsymbol u}=1 αu=uTeu=1，且其他的 α i \alpha_i αi全部为零。因此，使方差最大的方向就是该特征值 λ u \lambda_{\boldsymbol u} λu对应的特征向量 e u \boldsymbol e_{\boldsymbol u} eu的方向。

上面的计算结果表面，用PCA寻找第一个主成分的过程就是求解PCA最大特征值及其对应特征向量的过程。事实上，由于协方差矩阵 Σ \boldsymbol\Sigma Σ半正定，其所有特征向量正交，恰好也满足我们最开始"每个主成分都与之前的所有主成分正交"的要求。如果排除掉第一主成分，第二主成分就对应 Σ \boldsymbol\Sigma Σ第二大特征值的特征向量，依次类推。因此，如果我们要把 d d d维的数据降到 k k k维，只需要计算 Σ \boldsymbol\Sigma Σ最大的 k k k个特征值对应的特征向量即可。设这 k k k个特征向量依次为 e 1 , ⋯ , e k \boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_k e1,⋯,ek，矩阵 W = ( e 1 , ⋯ , e k ) ∈ R d × d \boldsymbol W=(\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_k)\in\mathbb R^{d\times d} W=(e1,⋯,ek)∈Rd×d，原数据矩阵 X = ( x 1 ⋯ , x m ) T ∈ R d × d \boldsymbol X=(\boldsymbol x_1\cdots,\boldsymbol x_m)^{\mathrm T}\in\mathbb R^{d\times d} X=(x1⋯,xm)T∈Rd×d，那么降维后的数据为 PCA ( X ) = X W \text{PCA}(\boldsymbol X)=\boldsymbol X\boldsymbol W PCA(X)=XW

四、动手实现PCA算法

下面，我们在NumPy库中线性代数工具的帮助下实现PCA算法。首先，我们导入数据集PCA_dataset.csv并将其可视化。数据集的每一行包含两个数 x 1 x_1 x1与 x 2 x_2 x2，代表平面上点的坐标 ( x 1 , x 2 ) (x_1,x_2) (x1,x2)。

python 复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 导入数据集
data = np.loadtxt('PCA_dataset.csv', delimiter=',')
print('数据集大小：', len(data))

# 可视化
plt.figure()
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-2, 8)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()

接下来，我们按上面讲解的方式实现PCA算法。numpy.linalg中提供了许多线性代数相关的工具，可以帮助我们计算矩阵的特征值与特征向量。

python 复制代码

def pca(X, k):
    d, m = X.shape
    if d < k:
        print('k应该小于特征数')
        return X, None

    # 中心化
    X = X - np.mean(X, axis=0)
    # 计算协方差矩阵
    cov = X.T @ X
    # 计算特征值和特征向量
    eig_values, eig_vectors = np.linalg.eig(cov)
    # 获取最大的k个特征值的下标
    idx = np.argsort(-eig_values)[:k]
    # 对应的特征向量
    W = eig_vectors[:, idx]
    # 降维
    X = X @ W
    return X, W

最后，我们在数据集上测试该PCA函数的效果，并将变换后的数据绘制出来。由于原始数据只有二维，为了演示PCA的效果，我们仍然设置 k = 2 k=2 k=2，不进行降维。但是，从结果中仍然可以看出PCA计算的主成分方向。相比于原始数据，变换后的数据最"长"的方向变成了横轴的方向。

python 复制代码

X, W = pca(data, 2)
print('变换矩阵：\n', W)

# 绘图
plt.figure()
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-5, 5)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()

五、用sklearn实现PCA算法

Sklearn库中同样提供了实现好的PCA算法，我们可以直接调用它来完成PCA变换。可以看出，虽然结果图像与我们上面直接实现的版本有180°的旋转，变换矩阵的元素也互为相反数，但PCA本质上只需要找到主成分的方向，因此两者得到的结果是等价的。

使用scikit-learn库中decomposition模块的PCA类可以创建PCA模型，其基本语法格式和参数说明如下。

sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, *, copy=True, whiten=False, svd_solver='auto', tol=0.0, iterated_power='auto', n_oversamples=10, power_iteration_normalizer='auto', random_state=None)

参数名称	参数说明
n_components	接收int或str。表示所要保留的主成分个数n，即保留下来的特征个数n，赋值为int时，表示降维的维度，如n_components=1，将把原始数据降到一个维度。赋值为str时，表示降维的模式，如取值为'mle'时，将自动选取特征个数n，使得满足所要求的方差百分比。默认为None。
copy	接收bool。表示是否在运行算法时，将原始训练数据复制一份。若为True，则运行后，原始训练数据的值不会有任何改变，因为是在原始数据的副本上进行运算；若为False，则运行后，原始训练数据的值会发生改变。默认为True。
whiten	接收bool。表示是否白化，使得每个特征具有相同的方差。默认为False。
svd_solver	接收{'auto', 'full', 'arpack', 'randomized'}，用于奇异值分解的算法。'auto'会根据输入数据选择最佳的求解器。默认为'auto'。
tol	接收float。奇异值的容忍度。在使用'arpack'求解器时使用。默认为0.0。
iterated_power	接收int或'auto'。在使用'randomized'求解器时，幂法迭代的次数。默认为'auto'。
n_oversamples	接收int。随机SVD的过采样数量。默认值为10。
power_iteration_normalizer	接收{'auto', 'LU', 'none'}。在幂迭代中使用的归一化方法。默认为'auto'。
random_state	接收int、RandomState实例或None。控制估计器的随机性。如果设置为固定整数，则可以确保结果的可重复性。默认为None。

python 复制代码

from sklearn.decomposition import PCA

# 中心化
X = data - np.mean(data, axis=0)
pca_res = PCA(n_components=2).fit(X)
W = pca_res.components_.T
print ('sklearn计算的变换矩阵：\n', W)
X_pca = X @ W

# 绘图
plt.figure()
plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-5, 5)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()

六、拓展：奇异值分解

本文介绍了数据降维的常用算法之一：PCA算法。数据降维是无监督学习的重要问题，在机器学习中有广泛的应用。由于从现实生活中采集的数据往往非常复杂，包含大量的冗余信息，通常我们必须对其进行降维，选出有用的特征供给后续模型使用。此外，有时我们还希望将高维数据可视化，也需要从数据中挑选2到3个最有价值的维度，将数据投影后绘制出来。除了PCA之外，现在常用的降维算法还有线性判别分析（linear discriminant analysis，LDA）、一致流形逼近与投影（uniform manifold approximation and projection，UMAP）、t分布随机近邻嵌入（t-distributed stochastic neighbor embedding，t-SNE）等。这些算法的特点各不相同，也有不同的适用场景。

关于PCA的计算方式，由于计算协方差矩阵 Σ = X X T \boldsymbol\Sigma=\boldsymbol X\boldsymbol X^{\mathrm T} Σ=XXT 和特征分解的时间复杂度较高，实践中通常会采用矩阵的奇异值分解（singular value decomposition，SVD）来代替特征分解。上面我们用到的sklearn库中的PCA算法就是以奇异值分解为基础的实现的。相比于特征分解，奇异值分解不需要实际计算出 Σ \boldsymbol\Sigma Σ，并且存在更高效的迭代求解方法。感兴趣的可以查阅相关资料，了解特征分解和奇异值分解的异同。

1. 奇异值分解的构造

2. 奇异值分解用于数据压缩

3. 奇异值分解的几何解释

4. 奇异值分解------SVD与PCA的关系

实际上，如果将矩阵 A m × n \boldsymbol A_{m\times n} Am×n看作是一个样本集合，其中的行看作特征随机变量，列看作每一个样本。当对数据集进行规范化后，矩阵 A T A \boldsymbol A^{\mathrm T}\boldsymbol A ATA就是样本集合的协方差矩阵。这样，SVD分解后的右奇异矩阵就是PCA分析中的特征向量组成的矩阵。

最后，大家可以在SETOSA网站的PCA算法动态展示平台上观察PCA的结果随数据分布的变化，加深对算法的理解。

附：以上文中的数据集及相关资源下载地址：

链接：https://pan.quark.cn/s/15d427a80558

提取码：vYkb