考试要求
1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.
6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a.b)内,设函数 f ( x ) f(x) f(x)具有二阶导数当 f ′ ′ ( x ) > 0 f^{''}(x)>0 f′′(x)>0时， f ( x ) f(x) f(x)的图形是凹的;当 f ′ ′ ( x ) > 0 f^{''}(x)>0 f′′(x)>0时, f ( X ) f(X) f(X)的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
9、了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.
导数的计算
复合函数的求导法则
若 u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x)在点 x x x可导，而 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)在对应点 u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x)可导，则复合函数 y = f [ φ ( x ) ] y=f[\varphi(x)] y=f[φ(x)]在点 x x x可导，并且 ( f [ φ ( x ) ] ) ′ = f ′ ( u ) φ ′ ( x ) = f ′ [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) (f[\varphi(x)])^{'}=f^{'}(u)\varphi^{'}(x)=f^{'}[\varphi(x)]\varphi^{'}(x) (f[φ(x)])′=f′(u)φ′(x)=f′[φ(x)]φ′(x)，即 d y d x = d y d u ⋅ d u d x \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} dxdy=dudy⋅dxdu
TIPS:
复合函数求导注意事项：按照由
外层到内层逐层求导，所求导数进行相乘，特别不要漏下最内层的导数，也不要重复求导
练习1：求下列函数的导数 1 、 y = arcsin x 2 2 、 y = e cos 2 1 x 3 、 y = ln ( x + x 2 + 1 ) \begin{matrix} 1、y=\arcsin \frac{x}{2} & 2、y=e^{\cos^{2}{\frac{1}{x}}}&3、y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})\end{matrix} 1、y=arcsin2x2、y=ecos2x13、y=ln(x+x2+1 )
知识点:1、复合函数求导注意事项：按照由
外层到内层逐层求导，所求导数进行相乘2、基本初等函数的导数公式： 1 、 ( C ) ′ = 0 2 、 ( x a ) ′ = a x a − 1 3 、 ( a x ) ′ = a x ln a 4 、 ( e x ) ′ = e x 5 、 ( log a x ) ′ = 1 x ln a 6 、 ( ln ∣ x ∣ ) ′ = 1 x 7 、 ( sin x ) ′ = cos x 8 、 ( cos x ) ′ = − sin x 9 、 ( tan x ) ′ = sec 2 x 10 、 ( cot x ) ′ = − csc 2 x 11 、 ( sec x ) ′ = sec x tan x 12 、 ( csc x ) ′ = − csc x cot x 13 、 ( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 14 、 ( arccos x ) ′ = − 1 1 − x 2 15 、 ( arctan x ) ′ = − 1 1 + x 2 16 、 ( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2 \begin{matrix} 1、(C)^{'}=0&2、(x^a)^{'}=ax^{a-1}&3、(a^x)^{'}=a^x\ln a & 4、(e^x)^{'}=e^x \\ \quad \\ 5、(\log_ax)^{'}=\frac{1}{x\ln a} & 6、(\ln |x|)^{'}=\frac{1}{x} &7、(\sin x)^{'}=\cos x&8、(\cos x)^{'}=-\sin x \\ \quad \\ 9、(\tan x)^{'}=\sec^2 x&10、(\cot x)^{'}=-\csc^2 x & 11、(\sec x)^{'}=\sec x\tan x & 12、(\csc x)^{'}=-\csc x\cot x \\ \quad \\13、(\arcsin x)^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&14、(\arccos x)^{'}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&15、(\arctan x)^{'}=-\frac{1}{1+x^2}&16、(arccot x)^{'}=-\frac{1}{1+x^2} \end{matrix} 1、(C)′=05、(logax)′=xlna19、(tanx)′=sec2x13、(arcsinx)′=1−x2 12、(xa)′=axa−16、(ln∣x∣)′=x110、(cotx)′=−csc2x14、(arccosx)′=−1−x2 13、(ax)′=axlna7、(sinx)′=cosx11、(secx)′=secxtanx15、(arctanx)′=−1+x214、(ex)′=ex8、(cosx)′=−sinx12、(cscx)′=−cscxcotx16、(arccotx)′=−1+x21
解： 题 1 y ′ = ( arcsin x 2 ) ′ = 1 1 − ( x 2 ) 2 . ( x 2 ) ′ = 1 4 − x 2 题 2 y ′ = ( e cos 2 1 x ) ′ ⋅ ( cos 2 1 x ) ′ ⋅ ( cos 1 x ) ′ ⋅ ( 1 x ) ′ = e cos 2 1 x ⋅ 2 ( cos 1 x ) ⋅ ( − sin 1 x ) ⋅ ( − 1 x 2 ) = e cos 2 1 x ⋅ sin 2 x ⋅ 1 x 2 题 3 y ′ = ( ln ( x + x 2 + 1 ) ) ′ ⋅ ( x + x 2 + 1 ) ′ = 1 x + x 2 + 1 ⋅ ( 1 + 2 x 2 x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2 题1 \\ \quad \\ y^{'}=(\arcsin \frac{x}{2})^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-{(\frac{x}{2})}^2}}.(\frac{x}{2})^{'}=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \\ \quad \\ 题2 \\ \quad \\ y^{'}=(e^{\cos^{2}{\frac{1}{x}}})^{'}\cdot({\cos^{2}{\frac{1}{x}}}){'}\cdot({\cos{\frac{1}{x}}})^{'}\cdot (\frac{1}{x})^{'}\\ \quad \\ =e^{\cos^{2}{\frac{1}{x}}}\cdot2({\cos{\frac{1}{x}}})\cdot({-\sin{\frac{1}{x}}})\cdot (-\frac{1}{x^2})\\ \quad \\ =e^{\cos^{2}{\frac{1}{x}}}\cdot{\sin{\frac{2}{x}}}\cdot \frac{1}{x^2}\\ \quad \\ 题3 \\ \quad \\ y^{'}=(\ln (x+\sqrt{x^2+1}))^{'}\cdot (x+\sqrt{x^2+1})^{'}\\ \quad \\ =\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}) \\ \quad \\ =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} 题1y′=(arcsin2x)′=1−(2x)2 1.(2x)′=4−x2 1题2y′=(ecos2x1)′⋅(cos2x1)′⋅(cosx1)′⋅(x1)′=ecos2x1⋅2(cosx1)⋅(−sinx1)⋅(−x21)=ecos2x1⋅sinx2⋅x21题3y′=(ln(x+x2+1 ))′⋅(x+x2+1 )′=x+x2+1 1⋅(1+2x2+1 2x)=1+x2 1
练习2：已知 y = f ( 3 x − 2 3 x + 2 ) , f ′ ( x ) = arctan x 2 y=f(\frac{3x-2}{3x+2}),f^{'}(x)=\arctan x^2 y=f(3x+23x−2),f′(x)=arctanx2，则 d y d x ∣ x = 0 \frac{dy}{dx}|_{x=0} dxdy∣x=0=?
解： y ′ = f ′ ( x ) ⋅ ( 3 x − 2 3 x + 2 ) ′ = f ′ ( 3 x − 2 3 x + 2 ) ⋅ ( 1 − 4 3 x + 2 ) ′ = arctan ( 3 x − 2 3 x + 2 ) 2 ⋅ ( 12 ) ( 3 x + 2 ) 2 d y d x ∣ x = 0 = 3 arctan 1 = 3 π 4 y^{'}=f^{'}(x)\cdot(\frac{3x-2}{3x+2})^{'}=f^{'}(\frac{3x-2}{3x+2})\cdot(1-\frac{4}{3x+2})^{'}\\ \quad \\ =\frac{\arctan (\frac{3x-2}{3x+2})^2\cdot (12)}{(3x+2)^2}\\ \quad \\ \frac{dy}{dx}|_{x=0}=3\arctan 1=\frac{3\pi}{4} y′=f′(x)⋅(3x+23x−2)′=f′(3x+23x−2)⋅(1−3x+24)′=(3x+2)2arctan(3x+23x−2)2⋅(12)dxdy∣x=0=3arctan1=43π
练习3：设 f ( u ) f(u) f(u)可导， y = f ( sin 2 x ) + f ( cos 2 x ) y=f(\sin^2 x)+f(\cos^2x) y=f(sin2x)+f(cos2x)，则 d y d x ∣ x = π 4 \frac{dy}{dx}|_{x=\frac{\pi}{4}} dxdy∣x=4π=?
解： d y d x = f ( sin 2 x ) ′ ⋅ ( sin 2 x ) ′ ⋅ ( sin x ) ′ + f ( cos 2 x ) ′ ⋅ ( cos 2 x ) ′ ⋅ ( cos x ) ′ = f ( sin 2 x ) ′ ⋅ 2 sin x ⋅ cos x + f ( cos 2 x ) ′ ⋅ 2 cos x ⋅ − sin x = sin 2 x ( f ( sin 2 x ) − f ( cos 2 x ) ) d y d x ∣ x = π 4 = f ( 1 2 ) − f ( 1 2 ) = 0 \frac{dy}{dx}=f(\sin^2 x)^{'}\cdot(\sin^2 x)^{'}\cdot(\sin x)^{'}+f(\cos^2x)^{'}\cdot(\cos^2x)^{'}\cdot(\cos x)^{'}\\ \quad \\ =f(\sin^2 x)^{'}\cdot 2\sin x\cdot \cos x+f(\cos^2x)^{'}\cdot 2\cos x\cdot-\sin x\\ \quad \\ =\sin 2x(f(\sin^2 x)-f(\cos^2x))\\ \quad \\ \frac{dy}{dx}|_{x=\frac{\pi}{4}}=f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{2})=0 dxdy=f(sin2x)′⋅(sin2x)′⋅(sinx)′+f(cos2x)′⋅(cos2x)′⋅(cosx)′=f(sin2x)′⋅2sinx⋅cosx+f(cos2x)′⋅2cosx⋅−sinx=sin2x(f(sin2x)−f(cos2x))dxdy∣x=4π=f(21)−f(21)=0
反函数求导法则
设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在区间 I I I内单调、可导，且 f ′ ( x ) ≠ 0 f^{'}(x)\ne 0 f′(x)=0，则反函数 x = φ ( y ) x=\varphi(y) x=φ(y)在对应的区间内可导，并且 d x d y = 1 d y d x 即 φ ′ ( x ) = 1 f ′ ( x ) \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}即\varphi^{'}(x)=\frac{1}{f^{'}(x)} dydx=dxdy1即φ′(x)=f′(x)1。
即：互为反函数的导数互为倒数
隐函数求导法则
设 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)是由方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0 所确定的可导函数，求其导数。方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0两边对 x x x求导数，牢记 y 是 x y是x y是x的函数，由复合函数求导法则和四则运算求导法则，得到一个含有 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy的方程，从中解出 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy即可。
TIPS: d y d x \frac{dy}{dx} dxdy也可以使用隐函数求导公式 d y d x = − F x ′ F y ′ \frac{dy}{dx}=-\frac{F^{'}_x}{F^{'}_y} dxdy=−Fy′Fx′
练习1：函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)由方程 arctan y x = ln x 2 + y 2 \arctan \frac{y}{x}=\ln {\sqrt{x^2+y^2}} arctanxy=lnx2+y2 所确定，求 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy
解： arctan y x = ln x 2 + y 2 两边对 x 求导得 ⇒ ( arctan y x ) ′ = ( ln x 2 + y 2 ) 2 ⇒ 1 1 + ( y x ) 2 ⋅ y ′ x − y x 2 = 1 x 2 + y 2 ⋅ 2 x + 2 y . y ′ 2 x 2 + y 2 ⇒ y ′ = d y d x = x + y x − y \arctan \frac{y}{x}=\ln {\sqrt{x^2+y^2}}两边对x求导得\\ \quad \\ \Rightarrow (\arctan \frac{y}{x})^{'}=(\ln {\sqrt{x^2+y^2}})^2\\ \quad \\ \Rightarrow \frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}\cdot\frac{y^{'}x-y}{x^2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\frac{2x+2y.y^{'}}{2\sqrt{x^2+y^2}}\\ \quad \\ \Rightarrow y^{'}=\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y} arctanxy=lnx2+y2 两边对x求导得⇒(arctanxy)′=(lnx2+y2 )2⇒1+(xy)21⋅x2y′x−y=x2+y2 1⋅2x2+y2 2x+2y.y′⇒y′=dxdy=x−yx+y
练习2：设函数 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x)由方程 ln ( x 2 + y ) = x 3 y + sin x \ln(x^2+y)=x^3y+\sin x ln(x2+y)=x3y+sinx 确定，则 d y d x ∣ x = 0 = \frac{dy}{dx}|_{x=0}= dxdy∣x=0=？
知识点： d y d x \frac{dy}{dx} dxdy也可以使用隐函数求导公式 d y d x = − F x ′ F y ′ \frac{dy}{dx}=-\frac{F^{'}_x}{F^{'}_y} dxdy=−Fy′Fx′
解: d y d x = − F x ′ F y ′ ⇒ { F x ′ = 2 x x 2 + y = 3 y x 2 + cos x F y ′ = 1 x 2 + y = x 3 ⇒ d y d x = − 2 x x 2 + y − 3 y x 2 − cos x 1 x 2 + y − x 3 x = 0 ， y = 1 带入公式解得： d y d x ∣ x = 0 = 1 \frac{dy}{dx}=-\frac{F^{'}_x}{F^{'}_y} \\ \quad \\ \Rightarrow \begin{cases} F^{'}_x =\frac{2x}{x^2+y}=3yx^2+\cos x\\ \quad \\ F^{'}y=\frac{1}{x^2+y}=x^3\end{cases}\\ \quad \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{2x}{x^2+y}-3yx^2-\cos x}{\frac{1}{x^2+y}-x^3}\\ \quad \\ x=0，y=1\\ \quad \\ 带入公式解得：\frac{dy}{dx}|{x=0}=1 dxdy=−Fy′Fx′⇒⎩ ⎨ ⎧Fx′=x2+y2x=3yx2+cosxFy′=x2+y1=x3⇒dxdy=−x2+y1−x3x2+y2x−3yx2−cosxx=0，y=1带入公式解得：dxdy∣x=0=1
练习3：求曲线 x 2 + x y + y 2 = 4 x^2+xy+y^2=4 x2+xy+y2=4在点 ( 2 , − 2 ) (2,-2) (2,−2)处得切线方程和法线方程。
知识点：1、 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy也可以使用隐函数求导公式 d y d x = − F x ′ F y ′ \frac{dy}{dx}=-\frac{F^{'}_x}{F^{'}_y} dxdy=−Fy′Fx′
2、如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处
可导，则曲线 y = f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 ) ) y=f(x)在点(x_0，f(x_0)) y=f(x)在点(x0，f(x0))处必有切线，其切线方程为： y − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-f(x_0)=f^{'}(x_0)(x-x_0) y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)3、如果 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f^{'}(x_0)\ne 0 f′(x0)=0，则曲线 y = f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 ) ) y=f(x)在点(x_0，f(x_0)) y=f(x)在点(x0，f(x0))此处的法线方程为： y − f ( x 0 ) = − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{'}(x_0)}(x-x_0) y−f(x0)=−f′(x0)1(x−x0)
解： F x ′ = 2 x + y ， F y ′ = x + 2 y d y d x = − F x ′ F y ′ = − 2 x + y x + 2 y ⇒ = − 2 × 2 − 2 2 − 4 = 1 ⇒ 切线： y + 2 = 1 ( x − 2 ) ⇒ y = x − 4 ⇒ 法线： y + 2 = − 1 ( x − 2 ) ⇒ y = − x F^{'}_x=2x+y，\quad F^{'}_y=x+2y \\ \quad \\ \frac{dy}{dx}=-\frac{F^{'}_x}{F^{'}_y}=-\frac{2x+y}{x+2y} \\ \quad \\ \Rightarrow=-\frac{2\times2-2}{2-4}=1 \\ \quad \\ \Rightarrow 切线：y+2=1(x-2)\Rightarrow y=x-4 \\ \quad \\ \Rightarrow 法线：y+2=-1(x-2)\Rightarrow y=-x Fx′=2x+y，Fy′=x+2ydxdy=−Fy′Fx′=−x+2y2x+y⇒=−2−42×2−2=1⇒切线：y+2=1(x−2)⇒y=x−4⇒法线：y+2=−1(x−2)⇒y=−x