AcWing 5292：跳台阶 ← 动态规划

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/5295/

【题目描述】
一个楼梯共有 n 级台阶，每次可以走一级或两级或三级，问从第 0 级台阶走到第 n 级台阶一共有多少种方案。

【输入格式】
共一行，包含一个整数 n。

【输出格式】
共一行，包含一个整数，表示方案数。

【数据范围】
1≤n≤15

【输入样例】
5

【输出样例】
13

【算法分析】
此问题是"计数型"问题，适用于利用动态规划方法解决。利用"最后一步法"求解的分析步骤如下：
1.确定状态
最后一步：走到最后一阶台阶，即走到第n阶台阶时，共有多少种不同的走法。
子问题：根据题意，走到第n阶台阶，有可能是从第n-1阶台阶、第n-2阶台阶或第n-3阶台阶走来的。根据加法原理，问题就转化为走到第n-1阶台阶、走到第n-2阶台阶及走到第n-3阶台阶的走法之和。
状态：根据上述"最后一步"、"子问题"部分的分析，可设状态为f(x)：表示走到第x阶台阶时共有多少种走法。
2.状态转移方程
根据上文分析，可得状态转移方程为：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)
3.初始条件和边界情况
由于n=0，1，2，3时，根据状态转移方程不能计算出f(0)，f(1)，f(2)，f(3)。故需要将它们设置为初始条件。
根据计算，可得f(0)=0，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=4
4.计算顺序
依据状态转移方程确定。

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=20;
int f[maxn];

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    f[0]=1;
    f[1]=1;
    f[2]=2;
    f[3]=4;
    for(int i=3;i<=n;i++){
        f[i]=f[i-1]+f[i-2]+f[i-3];
    }    
    cout<<f[n];
    
    return 0;
}

/*
in:5
out:13
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/112797538
https://www.acwing.com/solution/content/254912/