文章目录
- [壹. 重要定理](#壹. 重要定理)
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- [一. 相关概念](#一. 相关概念)
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- [1. 伴随矩阵](#1. 伴随矩阵)
- [2. 初等变换与等价](#2. 初等变换与等价)
- [3. 正交矩阵](#3. 正交矩阵)
- [二. 主要定理](#二. 主要定理)
- [三. 主要公式](#三. 主要公式)
- [贰. 典型例题](#贰. 典型例题)
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- [1. 矩阵运算](#1. 矩阵运算)
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- [题型一. 列向量的乘积](#题型一. 列向量的乘积)
- 题型二:矩阵的n次方
- [2. 特殊矩阵](#2. 特殊矩阵)
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- 题型一:伴随矩阵的求法
- [题型二. 可逆矩阵](#题型二. 可逆矩阵)
- [题型三. 正交矩阵](#题型三. 正交矩阵)
- 题型四:行最简矩阵
- [3. 初等变换(左乘行变换,右乘列变换)](#3. 初等变换(左乘行变换,右乘列变换))
- [**以行为单位进行变换,第二行[0 1 2]的情况:没有第一行+第二行+二倍第三行。**](#以行为单位进行变换,第二行[0 1 2]的情况:没有第一行+第二行+二倍第三行。)
- [4. 分块矩阵](#4. 分块矩阵)
- [5. 矩阵秩的计算](#5. 矩阵秩的计算)
- [6. 矩阵方程:矩阵方程的运算](#6. 矩阵方程:矩阵方程的运算)
壹. 重要定理
一. 相关概念
1. 伴随矩阵
2. 初等变换与等价
等价:经过有限次初等变换。
初等变换:左乘与右乘
3. 正交矩阵
二. 主要定理
求逆矩阵的工作量少一半
三. 主要公式
贰. 典型例题
1. 矩阵运算
注意:
题型一. 列向量的乘积
设矩阵,运算观察。
或直接对角线元素相加。
题型二:矩阵的n次方
- 方法一: 直接乘
- 方法二:秩=1,可以化成两个向量的乘积。
另外两个向量乘积之后=数,是对角线元素相加。
直接乘。
公式:注意n倍的对于矩阵的每行都乘。
整理等式,计算。n次方的化简。
2. 特殊矩阵
题型一:伴随矩阵的求法
- 方法1:通过代数余子式,注意行列互换
- 方法2:通过行列式变换求逆+求行列式的值。
AB看成整体, C C ∗ = ∣ C ∣ E CC^{*}=|C|E CC∗=∣C∣E。等式左边 C ∗ C^{*} C∗,利用 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1。
- 行列式不等于0,则秩=n
- 通过代数余子式来判定伴随矩阵。
2.1. <n-1,代数余子式=0,所以伴随矩阵是0矩阵
2.2. =n-1,
题型二. 可逆矩阵
- 伴随矩阵
- 行变换
- 矩阵相乘,提出A+E
- 逆的特性。
凑E+B。
- E的妙用
- 转置的逆,向量相乘的逆
- 利用E
- 行列式的乘积可以左右替换乘积,并放到乘积的行列式中。
题型三. 正交矩阵
结论:
- 正交矩阵的行列式=1
利用正交公式 A A T = E AA^T=E AAT=E。先化简然后再观察求解。
都不是正交矩阵。
E的妙用
从定义出发: A ∗ ( A ∗ ) T A^*{(A^*)}^T A∗(A∗)T,利用正交矩阵特性。
题型四:行最简矩阵
3. 初等变换(左乘行变换,右乘列变换)
以行为单位进行变换,第二行[0 1 2]的情况:没有第一行+第二行+二倍第三行。
或两次变换放到一个矩阵中。
两个变换+逆乘。
由伴随+变换得AC的关系,约掉AC,求P。
由秩判断。等价秩相等。
4. 分块矩阵
对于一般的矩阵,拆成A+E(注意:也得是合适的形式,不是所有的矩阵都可以。)
对于秩=1的矩阵,化成列乘行矩阵的式子,以最小公约矩阵为基础(A)(为左),右乘行矩阵(每列对A的变化)。
B. 思路:
- 可逆=行列式不等于零
- 根据 A A − 1 = E AA^{-1}=E AA−1=E,设矩阵
错,again。
矩阵不可逆的题型
注意:A不可逆。
ing
B, C B − 1 = A CB^{-1}=A CB−1=A ,C右乘矩阵进行列变换,所以列向量等价。
5. 矩阵秩的计算
一个未知数需要一个条件(秩=2,行列式=0)即可
判断A的秩,由r(A(E+B))=2,E+B=3满秩,所以r(A)=2。
直接初等行变换,进行分类讨论。
关键词解题:B是三阶非零矩阵,则AB=0有非零解,所以R(A) < 3,得行列式=0。 接着求出a,然后判断A的秩。
或利用二阶子式:直接判断
6. 矩阵方程:矩阵方程的运算
就像 [ A ∣ E ] − > [ E ∣ A − 1 ] [A|E] -> [E|A^{-1}] [A∣E]−>[E∣A−1]。
B,
化成(A - B)X(A + B) = E,因为R(E)=3,所以左式的秩都等于3。所以都可逆。
注意公式: