【线性代数】【第二章】矩阵习题

文章目录

  • [壹. 重要定理](#壹. 重要定理)
    • [一. 相关概念](#一. 相关概念)
      • [1. 伴随矩阵](#1. 伴随矩阵)
      • [2. 初等变换与等价](#2. 初等变换与等价)
      • [3. 正交矩阵](#3. 正交矩阵)
    • [二. 主要定理](#二. 主要定理)
    • [三. 主要公式](#三. 主要公式)
  • [贰. 典型例题](#贰. 典型例题)
    • [1. 矩阵运算](#1. 矩阵运算)
    • [2. 特殊矩阵](#2. 特殊矩阵)
    • [3. 初等变换(左乘行变换,右乘列变换)](#3. 初等变换(左乘行变换,右乘列变换))
    • [**以行为单位进行变换,第二行[0 1 2]的情况:没有第一行+第二行+二倍第三行。**](#以行为单位进行变换,第二行[0 1 2]的情况:没有第一行+第二行+二倍第三行。)
    • [4. 分块矩阵](#4. 分块矩阵)
    • [5. 矩阵秩的计算](#5. 矩阵秩的计算)
    • [6. 矩阵方程:矩阵方程的运算](#6. 矩阵方程:矩阵方程的运算)

壹. 重要定理

一. 相关概念

1. 伴随矩阵

2. 初等变换与等价

等价:经过有限次初等变换。

初等变换:左乘与右乘

3. 正交矩阵

二. 主要定理

求逆矩阵的工作量少一半

三. 主要公式


贰. 典型例题

1. 矩阵运算

注意:

题型一. 列向量的乘积

设矩阵,运算观察。

或直接对角线元素相加。

题型二:矩阵的n次方

  • 方法一: 直接乘
  • 方法二:秩=1,可以化成两个向量的乘积。
    另外两个向量乘积之后=数,是对角线元素相加。

直接乘。

公式:注意n倍的对于矩阵的每行都乘。

整理等式,计算。n次方的化简。

2. 特殊矩阵

题型一:伴随矩阵的求法


  • 方法1:通过代数余子式,注意行列互换
  • 方法2:通过行列式变换求逆+求行列式的值。

AB看成整体, C C ∗ = ∣ C ∣ E CC^{*}=|C|E CC∗=∣C∣E。等式左边 C ∗ C^{*} C∗,利用 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1。

  1. 行列式不等于0,则秩=n
  2. 通过代数余子式来判定伴随矩阵。
    2.1. <n-1,代数余子式=0,所以伴随矩阵是0矩阵
    2.2. =n-1,

题型二. 可逆矩阵

  1. 伴随矩阵
  2. 行变换
  1. 矩阵相乘,提出A+E
  2. 逆的特性。

凑E+B。

  1. E的妙用
  2. 转置的逆,向量相乘的逆


  1. 利用E
  2. 行列式的乘积可以左右替换乘积,并放到乘积的行列式中。

题型三. 正交矩阵

结论:

  • 正交矩阵的行列式=1

利用正交公式 A A T = E AA^T=E AAT=E。先化简然后再观察求解。

都不是正交矩阵。

E的妙用

从定义出发: A ∗ ( A ∗ ) T A^*{(A^*)}^T A∗(A∗)T,利用正交矩阵特性。

题型四:行最简矩阵

3. 初等变换(左乘行变换,右乘列变换)


以行为单位进行变换,第二行[0 1 2]的情况:没有第一行+第二行+二倍第三行。


或两次变换放到一个矩阵中。

两个变换+逆乘。

由伴随+变换得AC的关系,约掉AC,求P。

由秩判断。等价秩相等。

4. 分块矩阵

对于一般的矩阵,拆成A+E(注意:也得是合适的形式,不是所有的矩阵都可以。)

对于秩=1的矩阵,化成列乘行矩阵的式子,以最小公约矩阵为基础(A)(为左),右乘行矩阵(每列对A的变化)。

B. 思路:

  1. 可逆=行列式不等于零
  2. 根据 A A − 1 = E AA^{-1}=E AA−1=E,设矩阵

错,again。

矩阵不可逆的题型

注意:A不可逆。

ing

B, C B − 1 = A CB^{-1}=A CB−1=A ,C右乘矩阵进行列变换,所以列向量等价。


5. 矩阵秩的计算

一个未知数需要一个条件(秩=2,行列式=0)即可

判断A的秩,由r(A(E+B))=2,E+B=3满秩,所以r(A)=2。

直接初等行变换,进行分类讨论。

关键词解题:B是三阶非零矩阵,则AB=0有非零解,所以R(A) < 3,得行列式=0。 接着求出a,然后判断A的秩。

或利用二阶子式:直接判断

6. 矩阵方程:矩阵方程的运算

就像 [ A ∣ E ] − > [ E ∣ A − 1 ] [A|E] -> [E|A^{-1}] [A∣E]−>[E∣A−1]。

B,

化成(A - B)X(A + B) = E,因为R(E)=3,所以左式的秩都等于3。所以都可逆。

注意公式:

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