2267. 检查是否有合法括号字符串路径
一个括号字符串是一个 非空 且只包含 和 的字符串。如果下面 任意 条件为 真 ，那么这个括号字符串就是 合法的 。'('')'
字符串是 。()
字符串可以表示为 （ 连接 ）， 和 都是合法括号序列。AB``A``B``A``B
字符串可以表示为 ，其中 是合法括号序列。(A)A
给你一个 的括号网格图矩阵 。网格图中一个 合法括号路径 是满足以下所有条件的一条路径：m x ngrid
路径开始于左上角格子 。(0, 0)
路径结束于右下角格子 。(m - 1, n - 1)
路径每次只会向 下 或者向 右 移动。
路径经过的格子组成的括号字符串是 合法 的。
如果网格图中存在一条 合法括号路径 ，请返回 ，否则返回 。true``false
数据范围
m == grid.lengthn == grid[i].length1 <= m, n <= 100grid[i][j]要么是 ，要么是 。'('')'
分析
记忆化搜索+剪枝，dfs传入的参数为当前位置坐标(x,y)和此时左括号和右括号的差值c，只有在终点且c==0才满足条件，有几个优化，首先c不能小于0（否则就说明左括号比右括号少，必然不成立），n+m-1必须为偶数，否则差值不可能为偶数
代码
c
class Solution {
public:
const static int N = 105;
int dp[N][N][N];
int dx[2] = {0, 1};
int dy[2] = {1, 0};
int n, m;
int dfs(int x, int y, vector<vector<char>>& grid, int c) {
if(x < 0 || y < 0 || x >= n || y >= m) return 0;
if(grid[x][y] == '(') c ++ ;
else c -- ;
if(c < 0) return 0;
int &t = dp[x][y][c];
if(t != -1) return t;
if(x == n - 1 && y == m - 1) {
if(c == 0) return t = 1;
else return t = 0;
}
t = 0;
for(int i = 0; i < 2; i ++ ) {
int nx = x + dx[i];
int ny = y + dy[i];
if(dfs(nx, ny, grid ,c)) t = 1;
}
return t;
}
bool hasValidPath(vector<vector<char>>& grid) {
n = grid.size();
m = grid[0].size();
for(int i = 0; i < n; i ++ ) {
for(int j = 0; j < m; j ++ ) {
for(int k = 0; k <= (n + m) / 2; k ++ ) {
dp[i][j][k] = -1;
}
}
}
if((n + m - 1) % 2) return false;
if(grid[0][0] == ')') return false;
int res = dfs(0, 0, grid, 0);
return res;
}
};1937. 扣分后的最大得分
给你一个 m x n 的整数矩阵 points （下标从 0 开始）。一开始你的得分为 0 ，你想最大化从矩阵中得到的分数。
你的得分方式为：每一行 中选取一个格子，选中坐标为 (r, c) 的格子会给你的总得分 增加 points[r][c] 。
然而，相邻行之间被选中的格子如果隔得太远，你会失去一些得分。对于相邻行 r 和 r + 1 （其中 0 <= r < m - 1），选中坐标为 (r, c1) 和 (r + 1, c2) 的格子，你的总得分 减少 abs(c1 - c2) 。
请你返回你能得到的 最大 得分。
abs(x) 定义为：
如果 x >= 0 ，那么值为 x 。
如果 x < 0 ，那么值为-x。
数据范围
m == points.lengthn == points[r].length1 <= m, n <= 1051 <= m * n <= 1050 <= points[r][c] <= 105
分析
令dp[i][j]表示选择points[i][j]的最大得分，暴力枚举上一行的所有列k，则
- d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ k ] + p o i n t s [ i ] [ j ] − ∣ k − j ∣ dp[i][j]=dp[i-1][k]+points[i][j]-|k-j| dp[i][j]=dp[i−1][k]+points[i][j]−∣k−j∣
但是这样子时间复杂度为 O ( n m 2 ) O(nm^2) O(nm2)，会超时，得考虑优化
我们去掉绝对值 - d p [ i ] [ j ] = { p o i n t s [ i ] [ j ] + m a x ( d p [ i − 1 ] [ k ] ) − ( j − k ) ， k ≤ j p o i n t s [ i ] [ j ] + m a x ( d p [ i − 1 ] [ k ] ) − ( k − j ) ， k > j dp[i][j]=\begin{cases} points[i][j]+max(dp[i-1][k])-(j-k)，k\le j \\ points[i][j]+max(dp[i-1][k])-(k-j)，k\gt j \end{cases} dp[i][j]={points[i][j]+max(dp[i−1][k])−(j−k)，k≤jpoints[i][j]+max(dp[i−1][k])−(k−j)，k>j
在提出 j j j
- d p [ i ] [ j ] = { p o i n t s [ i ] [ j ] − j + m a x ( d p [ i − 1 ] [ k ] ) + k ) ， k ≤ j p o i n t s [ i ] [ j ] + j + m a x ( d p [ i − 1 ] [ k ] ) − k ， k > j dp[i][j]=\begin{cases} points[i][j] - j +max(dp[i-1][k]) + k)，k\le j \\ points[i][j] + j +max(dp[i-1][k])- k，k\gt j \end{cases} dp[i][j]={points[i][j]−j+max(dp[i−1][k])+k)，k≤jpoints[i][j]+j+max(dp[i−1][k])−k，k>j
此时可以考虑优化了，只要找到一行中 j j j左边 d p [ i − 1 ] [ k ] + k dp[i-1][k]+k dp[i−1][k]+k的最大值和 j j j右边 d p [ i − 1 ] [ k ] − k dp[i-1][k]-k dp[i−1][k]−k的最大值，这个可以用两个一维数组表示，
- m a x x 1 [ j ] maxx1[j] maxx1[j]表示 j j j左边 d p [ i − 1 ] [ k ] + k dp[i-1][k]+k dp[i−1][k]+k的最大值
- 同理可以定义 m a x x 2 [ j ] maxx2[j] maxx2[j]
这两个数组可以在计算完每行的 d p [ i ] dp[i] dp[i]进行处理，初始化处理 m a x x 1 [ j ] = j ， m a x x 2 [ j ] = − j maxx1[j]=j，maxx2[j]=-j maxx1[j]=j，maxx2[j]=−j
此时状态转移就变成了这样
- d p [ i ] [ j ] = m a x ( p o i n t s [ i ] [ j ] − j + m a x x 1 [ j ] , p o i n t s [ i ] [ j ] + j + m a x x 2 [ j ] ) dp[i][j]=max(points[i][j] - j +maxx1[j], points[i][j] + j +maxx2[j]) dp[i][j]=max(points[i][j]−j+maxx1[j],points[i][j]+j+maxx2[j])
注意：处理maxx2时需要从大到小遍历
代码
c
typedef long long LL;
class Solution {
public:
int n, m;
const static int N = 1e5 + 5;
LL maxx1[N], maxx2[N];
LL maxPoints(vector<vector<int>>& points) {
n = points.size();
m = points[0].size();
vector<vector<LL>> dp(n + 1);
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
dp[i].resize(m + 1);
}
LL res = 0;
for(int j = 1; j <= m; j ++ ) {
maxx1[j] = dp[1][j] + j;
maxx2[j] = dp[1][j] - j;
}
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
for(int j = 1; j <= m; j ++ ) {
dp[i][j] = max(points[i - 1][j - 1] - j + maxx1[j], points[i - 1][j - 1] + j + maxx2[j]);
res = max(res, dp[i][j]);
}
LL tmax = LLONG_MIN;
for(int j = 1; j <= m; j ++ ) {
tmax = max(tmax, dp[i][j] + j);
maxx1[j] = tmax;
}
tmax = LLONG_MIN;
for(int j = m; j >= 1; j -- ) {
tmax = max(tmax, dp[i][j] - j);
maxx2[j] = tmax;
}
}
return res;
}
};