2014年国赛高教杯数学建模
B题 创意平板折叠桌
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
试建立数学模型讨论下列问题：
1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。
2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
整体求解过程概述(摘要)
本文主要讨论了平板折叠桌的动态变化过程及最优加工参数的设计问题。 在问题一中，本文将折叠桌的动态变化过程简化为杆件的定轴转动，先利用空间解析几何与平面几何的知识计算出各桌脚的长度及开槽深度，从而计算出各桌脚的位置与高度的函数关系来描述了折叠桌的动态变化过程，并使用MATLAB画出三维动态图形，进一步直观地展示了其动态变化过程。最后据构建的模型给出了最优加工参数，并用参数方程的形式描述了理想的桌脚边缘线，且与实际桌脚边缘的连线进行了对比。
在问题二中，本文从结构的稳固性、节省材料和加工方便几个角度出发，考虑了几何约束、运动约束、静力学平衡约束，而从建立了一个关于重心位置与材料用量的多目标优化模型（MOP）。此模型为非线性规划模型，在求解时，本文利用MATLAB采用图像法确定模型的可行域，而从得出木板尺寸与钢筋位置最佳选择。对于题目中桌高70cm、桌面直径80cm的情形，文中给出了最优加工参数，板长为170cm，钢筋位于最外侧木条上距桌面中心线53cm处，各桌腿长度及其滑槽长度见文中表格。
在问题三中，首先根据客户给出的桌面边缘线和桌脚边缘线对应点之间的距离作为桌腿木条的长度，然后根据问题一中计算出的运动约束关系计算出实际桌脚边缘的坐标，计算出实际桌脚边缘线与客户提供的桌脚边缘线之间距离的平方和作为目标函数，得到使其取最小值的钢筋位置，验证问题二中约束条件，进而计算出其他设计参数。最后，本文设计出了两种创意平板折叠桌，并给出了相应的加工参数及动态变化过程示意图。
模型假设：
1.木板匀质，密度为常数且厚度均匀；
2.忽略钢筋与滑槽的摩擦力，及相邻桌腿之间的摩擦力
3.剪裁时忽略桌腿木条之间的剪裁缝隙，且每条桌腿等宽；
4.各桌腿都在相互平行的平面内做圆周运动，；
5.设计时所用平板材料的厚度不变，为3cm。
问题分析：
问题一
对于问题一，在考虑长方形平板材料尺寸、折叠后桌子高度要求和桌腿木条与钢筋的运动约束条件等目标要求的情况下，主要解决三个问题：描述折叠桌动态变化过程、给出折叠桌设计加工参数、给出桌脚边缘线的数学描述。 首先假设桌面圆形的直径为 50cm，根据长方形平板尺寸及木条宽度确定剪裁方案。根据钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置和运动过程中的几何关系，可以计算出钢筋在每根桌腿木条中的初始位置和最终位置，两者作差即可求出每根桌腿木条所需要的的开槽长度，结合剪裁方案，给出设计加工参数。 由于每组桌腿中的钢筋固定在最外侧的两根木条上，且钢筋在每组桌腿木条的空槽中自由滑动，故每组中最外侧的两条桌腿木条的运动状态决定了本组中间所有桌腿木条的运动状态。首先建立空间直角坐标系，用木条边缘点的坐标（由于桌腿木条有一定宽度和厚度，故取边缘截面中心点为边缘点）描述桌腿木条的运动状态，根据运动过程中的几何关系，通过数学计算得出每条桌腿木条边缘点的坐标随最外侧桌腿木条边缘点高度变化的函数关系。再由此计算出运动过程中每条桌腿木条的倾斜角度、距桌面的高度及钢筋在滑槽中的位置等参数，并用matlab 画三维图仿真，给出动态过程的中间步骤图，结合以上参数共同描述折叠桌的动态变化过程。 利用前面求出的桌腿木条边缘点的坐标随最外侧桌腿木条边缘点高度变化的函数关系，可以求出折叠后各桌腿木条边缘点的坐标，列表或画成散点图描述桌脚边缘线；另外可以令桌腿木条宽度趋于零，使桌脚边缘线变成连续曲线，进而求出解析表达式，近似描述真实的桌脚边缘线。
问题二
对于给定折叠桌高度h和桌面直径2R，我们主要从结构的稳固性和节省材料、及加工方便几个角度考虑来给出其优化设计方案。我们需要设计的有平板尺寸、钢筋的位置、开槽深度，其中开槽深度可以由前两者及运动过程决定。 （1）对于稳固性，我们主要从三方面考虑，一方面，我们以桌子的重心来衡量其稳定性，重心的相对位置越低，其稳定性越强；另一方面，我通过选取合理的桌脚截面来增加其抗压及抗弯矩的强度 [1] ；另外，我们保证四条桌腿的倾角在其摩擦角的范围内。 （2）对于材料用量，我们在保证一定稳固性和运动约束的前提下，尽量让用料最少，即木板体积尽可能小。 （3）对于加工方便，我们认为桌腿的数量不宜过多，过多会导致桌腿间距变小，一方面结构的强度难以保证，另一方面加工难度变大。 这样，我们可以建立关于设计的一个优化模型
问题三
首先根据桌面边缘线和桌脚边缘线对应点之间的距离计算出桌腿木条的长度，再根据前面计算出的运动约束关系计算出实际桌脚边缘的坐标，计算出实际桌脚边缘线与客户提供的桌脚边缘线之间距离的平方和作为目标函数，得到使其取最小值的钢筋位置，进而计算出其他设计参数。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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程序代码：
bash
for i=1:10
m=sqrt(1/4*l(1)^2+(l(1)-l(i))^2-sqrt(l(1)^2-h^2)*(l(1)-l(i)));
x(i)=26.25-2.5*i;
y(i)=(0.5*sqrt(l(1)^2-h^2)-(l(1)-l(i)))*l(i)/m+l(1)-l(i);
z(i)=0.5*h*l(i)/m;
end
for i=1:11
x(i)=27.5-2.5*i;
y(i)=(p*sqrt(l(1)^2-h^2)-y1(i))*l(i)/(sqrt(p^2*l(1)^2+y1(i)^2-2*p*sqrt(l(1)^2-h^2)*y1(i)))+y1(i);
z(i)=p*h*l(i)/(sqrt(p^2*l(1)^2+y1(i)^2-2*p*sqrt(l(1)^2-h^2)*y1(i)));
end
x1=0:0.5:25;
for i=1:length(x1)
if x1(i)<15
y1(i)=30;
else
y1(i)=75-3*x1(i);
end
end
for i=1:length(x1)
z1(i)=0;
end
x2=x1;
y2=40-sqrt(625-x2.^2);
z2=y2+20;
h=60;
tixing;
plot3(x2,-y2,-z2,x2,y2,-z2,-x2,-y2,-z2,-x2,-y2,-z2);
plot3(x,-y,-z,'r*',x,y,-z,'r*',-x,-y,-z,'r*',-x,y,-z,'r*');
hold on;
plot3(x1,-y1,-z1,-x1,-y1,-z1,x1,y1,-z1,-x1,y1,-z1);
hold on;
for i=1:length(x)
plot3([x(i),x(i)],[-b(x(i)),-y(i)],[0,-z(i)]);
hold on;
plot3([-x(i),-x(i)],[-b(x(i)),-y(i)],[0,-z(i)]);
hold on;
plot3([x(i),x(i)],[b(x(i)),y(i)],[0,-z(i)]);
hold on;
plot3([-x(i),-x(i)],[b(x(i)),y(i)],[0,-z(i)]);
hold on;
end
plot3([25,-25],[-y(1)*p,-y(1)*p],[-z(1)*p,-z(1)*p],'k');
hold on;
plot3([25,-25],[y(1)*p,y(1)*p],[-z(1)*p,-z(1)*p],'k');
hold on;
axis equal;
figure;