一、期望
1、定义
对随机变量可能取值的加权平均，其中权重是每个可能取值的概率。用E表示，如x是随机变量，则该期望为EX
2、离散型随机变量的期望
对于离散随机变量 X ，其可能的取值为 x1,x2,...,xn，对应的概率为 E(X)=（ *
）的累计之和。
例如1：三个人的体重分别为150、165、180，求体重的期望值
EX = 1/3 * 150 + 1/3 * 165 +1/3 *180 = 165
例如2：学校举行歌唱比赛，假设给一个参赛选手打分，专业评委打分90，老师打分100，学生打分80，专业评委分数权重为0.9，老师权重为0.09，学生权重为0.01，求给该选手的打分期望值。
解：设x为打分值，则p(x) 为对应权重
则 EX=90*0.9 + 100*0.09+80*0.01 = 90.8
3、离散型随机变量函数的期望
同离散型随机变量的期望一样，将x取值变更为y的取值（即 从x=1 变成y=3（y=3x）这样），EY=（ *
）的累计之和。
例如：假设X的概率分布表如下，Y=4X+1，求Y的期望：
| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
解：EX=（4x+1）*p(x) = (4*0+1)*0.1 +(4*1+1)*0.6+(4*2+1)*0.3 = 0.1+3+2.7=5.8
4、连续型随机变量的期望
连续随机变量 X ，其概率密度函数为 f(x) ，则 X 的数学期望定义为：E(X)=∫ x*f(x) dx
例如：已知概率密度函数
，求期望值
解：EX= ∫ x * 2x dx = 2/3 *
=2/3
5、连续型随机变量函数的期望
同上面例子，EY=∫ Y*f(x) dx = ∫ g(x)*f(x) dx。
例如：假设密度函数
，函数Y=4X+1，求Y的期望
解：带入公式 EY==∫ Y*f(x) dx = ∫ g(x)*f(x) dx = (4X+1)*1/2 dx =
+1/2*x
= 5
6、二维离散型随机变量函数的期望
同（3）定义，令Z=g(X,Y) ，概率变为 P(X=,Y=
)=
，那么期望公式就变成了 EZ=(g(x,y) *
)的累计之和。
例如：
假设X、Y联合概率分布表如下，求 Z=-Y 的期望
| X\y | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.1 | 0.1 | 0.2 |
| 2 | 0.2 | 0.2 | jie解：代入公式 EZ=(g(x,y) * |
7、二维连续型随机变量函数的期望
同（5）定义，令Z=g(X,Y)，那么z的期望就是z的值乘上（x,y）的联合密度函数（概率）f(x,y)的累计之和，EZ=∫∫ z * f(x,y) dx dy = ∫∫ g(x,y) * f(x,y) dx dy
例如： 假设X、Y的联合密度函数 
，求z=xy的期望
解：带入公式EZ=∫∫ z * f(x,y) dx dy = ∫∫ g(x,y) * f(x,y) dx dy = xy * (x+y) dx dy =
+
dx =
+
dx =
= 1/3
8、期望的公式定理
常数的期望等于常数，EC=C
E(X+C)=EX+C
E(CX)=C*EX；可将常数*变量的期望可以变成 常数*只有变量期望
E(kX+b)=k*EX+b ；同上面两个结合，常数不影响期望的计算
E(X±Y)=EX+EY (任何时候都成立 )
X、Y独立，E(XY)=EX*EY；
二、方差
1、定义
衡量随机变量或一组数据的离散程度，反映了数据点与其平均值之间的偏离程度（方差越大，数据点越分散；方差越小，数据点越集中）。 DX=E[]=E(
)-
方差 DX ，平均差 二次根号DX
2、离散型随机变量的方差
离散型随机变量 X，方差可以表示为 DX=( *P ) 的累计之和。
例如：假设存在随机变量的x的分布表如下，求DX：
| X | -2 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|
| P | 0.4 | 0.3 | 0.3 |
解：EX=-2*0.4 + 0*0.3 +2*0.3 = -0.2
E = -2 *-2 *0.4 +0*0*0.3 +2*2*0.3 = 1.6+0+1.2=2.8
DX = E()-
= 2.8-(-0.2)*(-0.2)=2.76
3、连续型随机变量的方差
连续型随机变量 X，方差可以表示为： ∫ ⋅f(x) dx
例如：假设密度函数： 
，求方差DX：
解：EX = ∫ x * f(x)dx = x *2x dx = 2/3
E = ∫
* f(x)dx =
*2x dx = 1/2
DX = E()-
= 1/2 - (2/3 * 2/3) =1/18
4、方差的公式定理
DC = 0；
D(X+C) = DX；
D(CX) =DX；
D(kX+b) = DX；
X、Y独立,D(X±Y) = DX+DY
X、Y不独立，D(X±Y) = DX+DY±2Cov(X,Y)； Cov(X,Y) 是协方差
三、常见离散型的期望与方差
1、 0-1分布
| X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| p | 1-p | p |
EX=p；
DX = E-
= p-
= p *(1-p)
2、 二项分布
P(x=k) =
，k=0,1,......n
E(X)=n⋅p
DX=n⋅p⋅(1−p)
3 几何分布
P(x=k) = * p ，k=1,2,......
EX = 1/P
DX = (1-p)/
4 泊松分布
EX = λ
DX=λ
四、常见连续型的期望与方差
1、 均匀分布
EX = x * (1/（b-a) ) dx = (a+b)/2
DX = /12
2、 指数分布
EX = 1/λ
DX = 1/λ*λ
3、 正态分布
EX = u
DX = σ^2
五、协方差
1、定义
对于两个随机变量 X 和 Y ，协方差定义为 Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)] =E(XY)−EXEY 。
2、性质
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)；
Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)；
Cov(+
,Y) = Cov(
,Y)+Cov(
,Y)；
Cov(C,X) = 0；
X、Y独立，Cov(X,Y) = 0；
3、相关系数
定义 ρ=Cov(X,Y) / = *
,相关系数的值在 -1 和 1 之间, -1 表示完全负相关，1 表示完全正相关，0 表示没有线性关系。
正相关：如果相关系数为正，表明当一个变量的值增加时，另一个变量的值也倾向于增加。
负相关：如果相关系数为负，表明当一个变量的值增加时，另一个变量的值倾向于减少。
无相关：如果相关系数为零，表明两个变量之间没有线性关系。