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什么是遍历二叉树
遍历定义-- 顺着某一条搜索路径巡访二叉树中的结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次(又称周游)。
- "访问"的含义很广，可以是对结点作各种处理，如：输出结点的信息、修改结点的数据值等，但要求这种访问不破坏原来的数据结构。
遍历目的-- 得到树中所有结点的一个线性排列。
遍历用途--它是树结构插入、删除、修改、查找和排序运算的前提，是二又树一切运算的基础和核心。
遍历方法
依次遍历二叉树的三个组成部分，便是遍历了整个二叉树。
若规定先左后右，则只有三种情况：
由二叉树的递归定义可知，遍历左子树和遍历右子树可如同遍历二叉树一样"递归"进行。
先序（DLR）遍历二叉树的操作定义：
(1)访问根结点；
(2)先序遍历左子树；
(3)先序遍历右子树。
注：根的左子树遍历完（左子树的左子树、左子树的右子树...）才轮到根的右子树进行遍历。
示例如下：
中序遍历二叉树的操作定义：
若二叉树为空，则空操作；否则
（1）中序遍历左子树；
（2）访问根结点；
（3）中序遍历右子树。
示例：
后序遍历二叉树的操作定义：
若二叉树为空，则空操作;否则
(1)后序遍历左子树；
(2)后序遍历右子树；
(3)访问根结点。
示例：
例题：
解析
先序： 先根结点A，再遍历根A的左子树，左子树遍历完，才轮到遍历右子树，左子树的根B，再根B的左子树，以D为根，再根D的左子树，没有就根D的右子树G，根G的左子树和右子树都没有，根D的树遍历完，再根B的右子树，没有，就可以遍历根A的右子树了，根C的左子树先遍历，以根E的树，根E的左子树没有，遍历根E的右子树，以H为根的左子树和右子树都没有，遍历根C的右子树，以F为根的左右子树都没有，先序遍历结束。
中序：先以A为根的左子树，再B为根的左子树，再以D为根的左子树，没有就输出根D，再根D的右子树G输出，以B为根的左子树结束就输出根B，再遍历B的右子树，没有就输出根A，再遍历根A的右子树，以C为根的左子树，再以E为根的左子树，没有就输出根E，根E的右子树H，根H的左子树没有，输出根H，根H的右子树没有，根C的左子树遍历完毕，输出根C，再遍历根C的右子树，以F为根的左子树没有，输出根F，根F的右子树没有。
后序：以A为根的左子树先遍历，以B为根的左子树先遍历，以D为根的左子树先遍历，没有就遍历根D的右子树，根G的左子树不存在，右子树也不存在，后序输出根结点G，根D的左右子树都遍历完了，输出根结点D，B的左子树遍历完，遍历其右子树，右子树不存在，输出根结点B，根A的左子树遍历完，遍历其右子树，根C的左子树先遍历，根E的左子树先遍历，不存在，遍历根E的右子树，根H的左右子树都不存在，输出根结点H，E的左右子树都遍历完，输出根结点E，C的左子树遍历完，遍历其右子树，根F的左右子树都不存在，输出根结点F，根C的左右结点都遍历完，输出根结点C，根A的左右子树都遍历完，输出根结点A。
请写出下图所示二叉树的先序、中序和后序遍历顺序。
根据遍历序列确定二叉树
- 若二叉树中各结点的值均不相同，则二叉树结点的先序序列、中序序列和后序序列都是唯一的。
- 由二叉树的先序序列和中序序列，或由二叉树的后序序列和中序序列可以确定唯一一棵二叉树
例题（根据先序中序以及后序中序求二叉树）
已知先序和中序序列求二叉树
例：已知二叉树的先序和中序序列，构造出相应的二叉树
先序：A B C D E F G H I J
中序：C D B F E A I H G J
首先从先序中可以知道这棵大树的根为A，已知根A后，从中序序列中可以得知C D B F E是这棵大树的左子树，I H G J是这棵大树的右子树；再从先序序列中B C D E F得知B是左子树的根，G H I J是右子树的根，再从中序序列中可以知道C D是根为B的树的左子树，F E是右子树，以此类推，可以构造相对应的二叉树。
已知后序和中序序列求二叉树
例：已知一棵二叉树的
中序序列：B D C E A F H G
后序序列：D E C B H G F A，请画出这棵二叉树。
类似的，我们可以先从后序序列中知道这棵大树的根结点为A，再从中序序列中得知B D C E是以A为根结点的左子树，F H G是其右子树，再从后序序列D E C B中知道B是左子树的根结点，F是左子树H G F的根结点，再从中序序列可以得出以B为根结点的树没有左子树，其右子树为D C E，以F为根结点的左子树不存在，其右子树为H G，以此类推可以画出完整的二叉树。
遍历的算法实现
先序遍历
步骤：
先序的遍历序列为ABCD
算法实现
cpp
Status PreOrderTraverse(BiTree T)
{
if (T == NULL)return OK;//空二叉树
else
{
visit(T);//访问根结点
PreOrderTraverse(T->lchild);//递归遍历左子树
PreOrderTraverse(T->rchild);//递归遍历右子树
}
}
过程：指针T指向我们的二叉树的根结点，把根结点的指针T传递给前序遍历，判断T是否为空，此时不为空，输出A结点的数据域上的值，然后对左子树进行先序遍历，将当前结点的左孩子的地址传递给它自身，调用自身函数后，输出当前指针的数据域的值，也就是B结点的值，接下来访问B结点的左子树，为空返回，然后再访问B的右子树，此时T指向D结点，不为空输出其值，D结点的左右子树都为空，返回，依次返回到以A结点的树，其左子树遍历完毕，继续遍历其右子树。
中序遍历
步骤：
中序遍历序列：BDAC
算法实现
cpp
Status InOrderTraverse(BiTree T)
{
if (T == NULL)return OK;
else
{
InOrderTraverse(T->lchild);//递归遍历左子树
visit(T);//访问根结点
InOrderTraverse(T->rchild);//递归遍历右子树
}
}后序遍历
步骤：
后序遍历序列：DBCA
算法实现
cpp
Status PostOrderTraverse(BiTree T)
{
if (T == NULL)return OK;
else
{
PostOrderTraverse(T->lchild);//递归遍历左子树
PostOrderTraverse(T->rchild);//递归遍历右子树
visit(T);//访问根结点
}
}遍历算法的分析
如果去掉输出语句，从递归的角度看，三种算法是完全相同的，或说这三种算法的访问路径是相同的，只是访问结点的时机不同。
从虚线的出发点到终点的路径上，每个结点经过3次。
第1次经过时访问=先序遍历
第2次经过时访问=中序遍历
第3次经过时访问=后序遍历
二叉树的层次遍历
第一个访问根结点a，然后从左到右访问第二层，a的孩子b和f，再访问孩子的孩子。
对于一棵二叉树，从根结点开始，按从上到下、从左到右的顺序访问每一个结点。
每一个结点仅仅访问一次。
算法设计思路 ：使用一个队列
1、将根结点进队；
2、队不空时循环：从队列中出列一个结点*p，访问它；
- 若它有左孩子结点，将左孩子结点进队；
- 若它有右孩子结点，将右孩子结点进队。
遍历描述：首先，根结点a入队， 队列开始出队，第一个结点是
a，a出队，然后把a的左右孩子b、f入队，再从队列中拿出最前一个结点b出队，把它的左右孩子c、d入队，再拿出f出队，把它的左孩子g入队，现在队列中还有cdg，把c出队，它的左右孩子入队，没有就拿下一个结点出队，以此类推。
代码实现：
使用队列类型定义如下
cpp
typedef struct
{
BTNode data[MaxSize];//存放队中元素
int front, rear;//队头和队尾指针
}SqQueue; //顺序循环队列类型二叉树层次遍历算法：
cpp
void LevelOrder(BTNode* b)
{
BTNode* p;
SqQueue* qu;
InitQueue(qu);//初始化队列
enQueue(qu,b);//根结点指针进入队列
while (!QueueEmpty(qu))
{
deQueue(qu,p);//出队结点
printf("%c",p->data);//访问结点p
if (p->lchild != NULL)enQueue(qu,p->lchild);
//有左孩子时将其出队
if (p->rchild != NULL)enQueue(qu, p->rchild);
//有右孩子时将其出队
}
}二叉树遍历算法的应用
二叉树的建立
- 按先序遍历序列建立二叉树的二叉链表
例：已知先序序列为：ABCDEGF
（1）从键盘输入二叉树的结点信息，建立二叉树的存储结构；
（2）在建立二叉树的过程中按照二叉树先序方式建立；
用#表示空字符
代码实现
cpp
Status CreateBiTree(BiTree& T)//链式存储
{
scanf(&ch);//cin>>ch;
if (ch == "#")T = NULL;
else
{
if (!(T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTree))))//从内存当中分配一个结点空间
exit(OVERFLOW);//T=new NiTNode;
T->data = ch;
CreateBiTree(T->lchild);//构造左孩子
CreateBiTree(T->rchild);//构造右孩子
}
return OK;
}//CreateBiTree复制二叉树
如果是空树，递归结束；
否则，申请新结点空间，复制根结点
- 递归复制左子树
- 递归复制右子树
代码实现
cpp
int Copy(BiTree T, BiTree& NewT)
{
if (T == NULL){
NewT = NULL;return 0;//如果是空树，返回0
}
else
{
NewT = new BiTNode; NewT->data = T->data;//复制结点数据
Copy(T->lchild, NewT->lchild);//递归复制左子树
Copy(T->rchild, NewT->rchild);//递归复制右子树
}
}计算二叉树深度
- 如果是空树，则深度为0；
- 否则，递归计算左子树的深度记为m，递归计算右子树的深度记为n，二叉树的深度则为m与n的较大者加1。
代码实现
cpp
int Depth(BiTree T) {
if (T == NULL)return 0;
else {
m = Depth(T->lchild);//求左子树的深度
n = Depth(T->rchild);//求右子树的深度
if (m > n)return (m + 1);
else return (n + 1);
}
}计算二叉树结点总数
- 如果是空树，则结点个数为0；
- 否则，结点个数为左子树的结点个数+右子树的结点个数再+1。
代码实现
cpp
int NodeCount(BiTree T) {
if (T == NULL)return 0;
else return NodeCount(T->lchild) +
NodeCount(T->rchild) + 1;
}计算二叉树叶子结点数
- 如果是空树，则叶子结点个数为0；
- 否则，为左子树的叶子结点个数+右子树的叶子结点个数。
代码实现
cpp
int LeadCount(BiTree T) {
if (T == NULL) return 0;
if (T->lchild == NULL && T->rchild == NULL)
return 1;//如果是叶子结点返回1
else
return LeafCount(T->lchild) +
LeafCount(T->rchild);
}