【抽代复习笔记】31-群(二十五):子群的拉格朗日定理和推论

定理:设S₁,S₂分别是G关于子群H的左、右陪集分解,则|S₁| = |S₂|。

证:只需证明S₁和S₂之间存在双射即可。

①定义:φ(a o H) = H o a^(-1),(S₁→S₂),设a o H = b o H,则a^(-1) o b∈H,

由H o a^(-1) = H o b^(-1)可推出φ(a o H) = φ(b o H),

显然对任意的a o H∈S₁,存在唯一的H o a^(-1)∈S₂,使得φ(a o H) = H o a^(-1),

所以φ是映射。

②对任意的H o a∈S₂,存在a^(-1) o H∈S₁,使得φ(a^(-1) o H) = H o [a^(-1)]^(-1) = H o a,

因此φ是满射。

③对任意的a o H,b o H∈S₁,若φ(a o H) = φ(b o H),则有H o a^(-1) = H o b^(-1),从而a^(-1) o [b^(-1)]^(-1) = a^(-1) o b∈H,从而有a o H = b o H,

因此φ是单射。

综上所述,φ是从S₁到S₂的一个一一映射。

所以可得|S₁| = |S₂|。

定义

设H≤G,S₁,S₂分别为G关于H的左右陪集分解,称|S₁| = |S₂|为H在G中的指数,记为[G:H]。

拉格朗日定理

G是有限群,H≤G,则[G:H] = |G|/|H|,从而|G| = |H|·[G:H],即|H|、[G:H]均整除|G|。

证:设|G| = n,|H| = m,[G:H] = k,

G:H\]表示G由k个互不相交的左陪集组成; 又\|a o H\| = \|H\|, 所以这些左陪集每一个都恰好包含m个元素, 所以G中一共有km个元素,即n = km, 即\|G\| = \|H\|·\[G:H\]。 推论 设G是有限群,a∈G,则\|a\|整除\|G\|。 证:设\|a\| = m,a可生成G的一个m阶循环子群(a) = H, 而\|a\| = \|H\| = m, 因为\|H\|整除\|G\|,所以\|a\|整除\|G\|。 例1:写出K₄,Z₄的子群。 (1)K₄(克莱因四元群)= {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)},其子群有平凡子群{(1)}和K₄,非平凡子群((12)(34))(={(1),(12)(34)}),((13)(24))(={(1),(13)(24)}),((14)(23))(={(1),(14)(23)})和{(1),(12)(34),(13)(24)}。 (2)Z₄(模4的剩余类加群)= {\[0\],\[1\],\[2\],\[3\]},其子群有平凡子群{\[0\]}和Z₄,非平凡子群(\[2\])。 例2:证明,素数阶群必定是循环群。 证:设G是一个群,G的阶\|G\| = p是素数, 因为p≥2,所以G中至少有2个元素,不妨设a∈G,且a≠e,可推出\|a\|≥2, 由拉格朗日定理的推论可知,\|a\|整除\|G\| = p,又因为p是素数,所以\|a\| = 1或p, 因为\|a\|≥2,所以\|a\| = p = \|G\|, 所以G是循环群。 (待续......)

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