【C++】红黑树

本篇可以先了解二叉搜索树和AVL树

1.红黑树的概念

红黑树 ：是一种二叉搜索树，但在每个节点上增加了一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。

2.红黑树的性质

每个结点不是红色就是黑色。

根结点是黑色的。

如果一个结点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的。

对于每个结点，从该结点到其所有后代结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。

每个叶子结点都是黑色的（此处的叶子结点指的是空结点）。

总结一下：

a、根结点是黑色的 。b、没有连续的红结点 。c、每条路径都有相同数量的黑结点。

为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中结点个数不会超过最短路径结点个数的两倍?

最短路径：结点全黑最长路径：结点为一黑一红

所以，最长路径中结点个数最多是最短路径结点个数的两倍。

时间复杂度：

最短路径：log_2 N

最长路径：2 log_2 N

也就是说理论情况下，红黑树的效率比AVL树的效率略差，但是实际上，由于现在硬件的运算速度非常快，他们之间基本上已经没有差异了，因为常规数据集中log_2 N足够小，2log_2 N差异不大。

比如查找10亿个数，AVL树最多查找30次，红黑树最多查找60次。30次和60次对于现在的硬件基本是一样的。

但是插入删除同样结点，红黑树比AVL树旋转更少，因为AVL树更严格的平衡其实是通过多旋转达到的，所以实际上红黑树得到了更广泛的引用，其次红黑树实现上更容易控制。

3.红黑树节点的定义

cpp 复制代码
enum Colour
{
	BLACK,
	RED,
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode* _left;
	RBTreeNode* _right;
	RBTreeNode* _parent;
	pair<K, V> _kv;

	Colour _col;
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_col(RED)
	{	}
};
插入新节点，新节点的颜色默认为红色还是黑色呢？

红色，如果为黑色，违反了规则4，如果为红色，违反了规则3。相对来说，规则4的影响较规则3的影响难处理，所以默认为红色。

4.红黑树的插入

红黑树的插入主要看叔叔

情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红（变色）

如果g是根，把g再变黑，结束。

如果g不是根，是一颗子树，再看g父亲的颜色：

a、如果g父亲的颜色为黑，结束。

b、如果g父亲的颜色为红，把g当作cur继续往上处理。

注意：

cur可能为新增，也可能是下面子树的祖先，原来为黑，变色处理为红色。处理是一样的。

情况二：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑（单旋+变色）

u不存在

如果u不存在，则cur一定为新插入的结点，因为如果cur不是新插入的结点，则cur和p一定有一个结点颜色是黑色的，就不满足性质4：每条路径黑色结点个数相同。

u存在且为黑

如果u存在且为黑，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的，现在看到其是红色的原因是因为，cur的子树经过了变色处理，将cur调整为了红色。

注意：

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋。p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋。

情况三：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/存在且为黑（双旋+变色）

u不存在

u存在且为黑

注意：

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则先进行左旋，转换为情况二，再进行右旋。p为g的右孩子，则先进行右旋，转换为情况二，再进行左旋。

5.红黑树的验证（了解）

红黑树的验证分为两步：

检测其是否为二叉搜索树（中序遍历是否有序）。

检测其是否满足红黑树的性质。

6.完整代码及验证

RBTree.hpp:

cpp 复制代码

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;

enum Colour
{
	BLACK,
	RED,
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode* _left;
	RBTreeNode* _right;
	RBTreeNode* _parent;
	pair<K, V> _kv;

	Colour _col;
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_col(RED)
	{	}
};

template<class K,class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K,V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//按搜索树的方式进行插入
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		//新增节点为红色
		cur->_col = RED;

		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			//红黑树的调节关键看叔叔
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//情况一：uncle存在且为红
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
					//继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					//情况三：单旋变为情况二
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(parent);
						swap(parent, cur);
					}
					//情况二：有可能为情况三变化而来
					RotateR(grandfather);
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
					break;
				}
			}
			else
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						RotateR(parent);
						swap(parent, cur);
					}
					RotateL(grandfather);
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
					break;
				}
			}
		}
		//永远把根置为黑
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}
	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_left = parent;
		Node* pparent = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;
		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pparent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = pparent;
		}
	}
	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		subL->_right = parent;
		Node* pparent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pparent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = pparent;
		}
	}
	//验证是否满足二叉搜索树
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " " << root->_kv.second;
		cout << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}
	//验证是否满足红黑树
	bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t blackCount)
	{
		//走到null之后，判断k和black是否相等
		if (nullptr == root)
		{
			if (k != blackCount)
			{
				cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		// 统计黑色节点的个数
		if (BLACK == root->_col)
			k++;
		// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
		Node* parent = root->_parent;
		if (parent && RED == parent->_col && RED == root->_col)
		{
			cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
			return false;
		}
		return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount) &&
			_IsValidRBTree(root->_right, k, blackCount);
	}
	bool IsValidRBTree()
	{
		Node* root = _root;
		// 空树也是红黑树
		if (nullptr == root)
			return true;
		// 检测根节点是否满足情况
		if (BLACK != root->_col)
		{
			cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
			return false;
		}
		// 获取任意一条路径中黑色节点的个数
		size_t blackCount = 0;
		Node* cur = root;
		while (cur)
		{
			if (BLACK == cur->_col)
				blackCount++;
			cur = cur->_left;
		}
		// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
		size_t k = 0;
		return _IsValidRBTree(root, k, blackCount);
	}
	
private:
	Node* _root = nullptr;
};
void TestRBTree()
{
	int a[] = { 4,2,6,1,3,5,15,7,16,14 };
	RBTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	t.InOrder();
	cout << t.IsValidRBTree() << endl;
	cout << endl;

	int b[] = { 16,3,7,11,9,26,18,14,15 };
	RBTree<int, int> t2;
	for (auto e : b)
	{
		t2.Insert(make_pair(e, e));
	}
	t2.InOrder();
	cout << t2.IsValidRBTree() << endl;
}

RBTest.cpp:

cpp 复制代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include"RBTree.hpp"

int main()
{
	TestRBTree();
	return 0;
}

运行结果：

7.红黑树与AVL树的比较

性能测试：
cpp 复制代码
void TestRB_AVLTree()
{
	const int n = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(n);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < n; i++)
	{
		v.push_back(rand());
	}
	RBTree<int, int> rbtree;
	size_t begin1 = clock();
	for (auto e : v)
	{
		rbtree.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end1 = clock();
	AVLTree<int, int> avltree;
	size_t begin2 = clock();
	for (auto e : v)
	{
		avltree.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end2 = clock();
	cout << "RBTree" << end1 - begin1 << endl;
	cout << "AVLTree" << end2 - begin2 << endl;
}
运行结果：

红黑树和 AVL 树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是 O( $log_2 N$ ) ，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2 倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL 树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

8.红黑树的应用

C++STL库-map/multimap set/multiset

java库

linux内核

其他一些库

关于红黑树的查找操作和二叉搜索树的查找相同，红黑树的删除操作不这里不做解释。