目录
[11.1 贪心算法的原理](#11.1 贪心算法的原理)
[11.2 经典贪心问题](#11.2 经典贪心问题)
[11.3 贪心算法在图中的应用](#11.3 贪心算法在图中的应用)
[11.4 贪心算法的优化与扩展](#11.4 贪心算法的优化与扩展)
数据结构与算法：贪心算法与应用场景
贪心算法是一种通过选择当前最佳解来构造整体最优解的算法策略。贪心算法在很多实际问题中都取得了良好的效果，尤其在那些具有贪心选择性质和最优子结构的问题上。本章将深入探讨贪心算法的基本原理、经典问题及其应用，并使用表格对比贪心算法与其他算法的不同。
11.1 贪心算法的原理
贪心算法的核心思想是每一步都采取在当前情况下最优的选择，从而希望通过一系列最优的局部选择来达到整体最优。贪心算法适用于那些能够通过局部最优解构建全局最优解的问题。
| 贪心算法要素 | 描述 |
|---|---|
| 贪心选择性质 | 每一步的选择都可以保证局部最优，而不影响后续决策的整体最优性。 |
| 最优子结构 | 整体问题的最优解由各个子问题的最优解组成。 |
| 与动态规划对比 | 贪心算法只看局部最优，而动态规划则考虑所有可能的解。 |
贪心算法在一些问题中非常有效，但并不是所有问题都能通过贪心策略解决。问题是否适用贪心算法，需要仔细分析其贪心选择性质和最优子结构。
11.2 经典贪心问题
贪心算法在很多经典问题中都有应用，以下是几个典型的贪心问题。
|------------|---------------------------|----------------|------------|
| 问题名称 | 问题描述 | 贪心策略 | 复杂度 |
| 活动选择问题 | 从一组活动中选择尽可能多的互不重叠的活动。 | 每次选择最早结束的活动。 | O(n log n) |
| 哈夫曼编码 | 构建最优二进制前缀码以压缩数据。 | 每次合并最小权值的两个节点。 | O(n log n) |
| 区间调度问题 | 安排最大数量的兼容区间活动。 | 每次选择最早结束的区间。 | O(n log n) |
| 找零问题 | 用最少的硬币数量找零（假设硬币面值适合贪心策略）。 | 每次选择面值最大的硬币。 | O(n) |
代码示例：活动选择问题的实现
cpp
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
struct Activity {
int start;
int end;
};
int compare(const void* a, const void* b) {
return ((struct Activity*)a)->end - ((struct Activity*)b)->end;
}
void activitySelection(struct Activity activities[], int n) {
qsort(activities, n, sizeof(struct Activity), compare);
printf("选择的活动: \n");
int i = 0;
printf("(%d, %d)\n", activities[i].start, activities[i].end);
for (int j = 1; j < n; j++) {
if (activities[j].start >= activities[i].end) {
printf("(%d, %d)\n", activities[j].start, activities[j].end);
i = j;
}
}
}
int main() {
struct Activity activities[] = {{1, 3}, {2, 5}, {4, 7}, {1, 8}, {5, 9}, {8, 10}};
int n = sizeof(activities) / sizeof(activities[0]);
activitySelection(activities, n);
return 0;
}在上述代码中，通过贪心策略选择最早结束的活动，可以得到一组互不重叠的活动，从而最大化所选活动的数量。
11.3 贪心算法在图中的应用
贪心算法在图论中也有广泛应用，尤其是在最小生成树和最短路径问题中。
|----------------|----------------------|-------------------|----------------------|
| 算法名称 | 问题描述 | 贪心策略 | 复杂度 |
| Prim算法 | 构建最小生成树，使得总权重最小。 | 每次选择权值最小且能扩展树的边。 | O(V^2) 或 O(E log V) |
| Kruskal算法 | 构建最小生成树，使得总权重最小。 | 每次选择权值最小且不形成环的边。 | O(E log E) |
| Dijkstra算法 | 从单源点出发，找到到其他各点的最短路径。 | 每次选择当前距离最小的未处理顶点。 | O(V^2) 或 O(E log V) |
代码示例：Prim算法的实现
cpp
#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <stdbool.h>
#define V 5
int minKey(int key[], bool mstSet[]) {
int min = INT_MAX, minIndex;
for (int v = 0; v < V; v++) {
if (mstSet[v] == false && key[v] < min) {
min = key[v], minIndex = v;
}
}
return minIndex;
}
void printMST(int parent[], int graph[V][V]) {
printf("边 权重\n");
for (int i = 1; i < V; i++) {
printf("%d - %d %d\n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]);
}
}
void primMST(int graph[V][V]) {
int parent[V];
int key[V];
bool mstSet[V];
for (int i = 0; i < V; i++) {
key[i] = INT_MAX, mstSet[i] = false;
}
key[0] = 0;
parent[0] = -1;
for (int count = 0; count < V - 1; count++) {
int u = minKey(key, mstSet);
mstSet[u] = true;
for (int v = 0; v < V; v++) {
if (graph[u][v] && mstSet[v] == false && graph[u][v] < key[v]) {
parent[v] = u, key[v] = graph[u][v];
}
}
}
printMST(parent, graph);
}
int main() {
int graph[V][V] = {{0, 2, 0, 6, 0},
{2, 0, 3, 8, 5},
{0, 3, 0, 0, 7},
{6, 8, 0, 0, 9},
{0, 5, 7, 9, 0}};
primMST(graph);
return 0;
}在这个代码中，通过 Prim 算法找到最小生成树，每次选择未被包含在树中的、具有最小权重的边来扩展生成树。
11.4 贪心算法的优化与扩展
虽然贪心算法在某些问题上能够很好地工作，但它的局限性在于无法保证所有情况下的全局最优解。因此，针对特定问题，可以通过以下方法对贪心算法进行优化或扩展：
|-------------|--------------------------------|
| 优化策略 | 描述 |
| 启发式优化 | 在贪心选择的基础上加入启发式信息，提高对全局解的估计精度。 |
| 与动态规划结合 | 将贪心算法与动态规划结合，使用动态规划来处理贪心策略的不足。 |
| 混合算法 | 将贪心算法与其他算法结合，如回溯或分支限界，以求得最优解。 |
贪心算法在很多情况下非常高效，但对于无法满足贪心性质的问题，需要考虑其他的算法策略。通过将贪心与动态规划等方法结合，通常可以找到更优的解。
总结
本章深入介绍了贪心算法的基本原理及其在各种经典问题中的应用。通过表格比较和代码示例，我们了解了贪心算法在活动选择、最小生成树、最短路径等场景中的广泛应用。同时，我们讨论了贪心算法的局限性及其与其他算法的结合方式。在下一章中，我们将深入探讨动态规划的核心思想及其在复杂问题中的应用。
